ハイゼンベルク群

ハイゼンベルク群について

ハイゼンベルク群は、可換環 A 上で定義される特別な構造の群です。この群を形成するのは、次のような行列の集合です：

$$
egin{bmatrix}
1 & b & c \\
0 & 1 & a \\
0 & 0 & 1
ext{ここで、} a, b, c ext{ は A の元です。}
egin{bmatrix} 1 & b & c \ 0 & 1 & a \ 0 & 0 & 1 \\ herefore ext{この場合、ハイゼンベルク群を } H(A) ext{ と表記します。}

この群は特に、群の中心と交換子部分群が同一である非可換の冪零群であることが特徴です。それゆえ、ハイゼンベルク群は代数的な性質を持ちながらも、可換性の条件を満たさず、興味深い数学的構造を与えています。

係数環の選択

ハイゼンベルク群は、実数体 R や整数環 Z、有限体 Z/pZ などのさまざまな係数環において考察されることが多いです。これらの環によって群の特性が変わるため、多面的なアプローチが可能となります。

実数体の場合の例

実数体 R の場合、ハイゼンベルク群 H(R) は3次元の単連結なリー群と見なされます。この状況下で、任意の元は行列の指数関数を使用して次のように表すことができるのです：

$$
egin{bmatrix}
1 & b & c + rac{1}{2}ab \\
0 & 1 & a \\
0 & 0 & 1
ext{ここで、指数写像に基づいて、} expegin{bmatrix} 0 & b & c \ 0 & 0 & a \ 0 & 0 & 0 \\ ext{を用いています。}

これにより、行列の性質を利用して群の元を表現することが可能となり、ハイゼンベルク群の深い理論に繋がっていきます。

整数環の場合

一方で、整数環 Z の場合、ハイゼンベルク群 H(Z) は H(R) の離散部分群です。ここでは、元を具体的に次の行列の形で書くことができます：

$$
egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 1 \\ ext{や、} H(Z) = ig\langle x, y ig
angle \\ で、元は次のように表現できます：
ext{ここで、} x = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 1 \ ext{や】 z = y^{-1} x^{-1} y x \ ext{の成り立つことから、生成の性質が見えます。}

有限体における特性

また、有限体 Z/pZ におけるハイゼンベルク群 H(Z/pZ) は、一般線型群 GL3(Z/pZ) のシロー部分群としても興味深いです。この場合、その位数は p³ となります。特に、p が奇素数である場合、全ての元 g は gp = 1 という性質を満たすため、群の構造がさらに公式化されます。

結論

ハイゼンベルク群は、可換環上で定義される行列によって形成され、さまざまな数学的文脈において重要な役割を果たしています。特に、任意の係数環の選択による多様な構造の違いは、群理論や線形代数の分野において、さらなる探求の余地を提供しています。

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