リー群

リー群 (Lie group)

定義と概要

リー群とは、数学において、滑らかな幾何学的構造である可微分多様体と、代数的な構造である群の性質を同時に持ち合わせ、これらの構造が互いに調和している対象のことです。すなわち、多様体上の点の「かけ算」や「割り算（逆元の操作）」が、多様体としての滑らかな写像として定義されているものを指します。この名称は、19世紀のノルウェーの数学者ソフス・リーの研究、特に無限小変換や連続変換群に関する業績にちなんで名付けられました。

多くの場合、実数体上の多様体として定義されますが、複素数体上の複素多様体として考える複素リー群も存在します。

歴史的背景

リー群の概念は、ソフス・リーが1870年代初頭に行った連続群の研究に端を発します。特に、1873年から1874年にかけての冬が彼の理論の誕生期と位置づけられています。リーの初期の研究は、フェリックス・クラインとの密接な共同作業の中で進められました。彼は1884年までに主要な成果を得たとしていますが、その論文の多くがノルウェー国内の雑誌に掲載されたため、ヨーロッパ全体での認知には時間を要しました。

転機となったのは、1884年にドイツの数学者フリードリッヒ・エンゲルがリーと協力し、彼の連続群理論を体系的にまとめる作業を開始したことです。この共同研究は、1888年から1893年にかけて全3巻で出版された記念碑的な著作『変換群の理論 (Theorie der Transformationsgruppen)』に結実しました。「リー群 (groupes de Lie)」という用語が初めて公に用いられたのは、1893年にリーの弟子アルチュール・トレッセの論文においてでした。

リーの研究は孤立したものではなく、当時の数学の流れと強く結びついていました。特に、微分方程式の幾何学的側面への関心は、カール・グスタフ・ヤコビによる一階偏微分方程式や古典力学に関する研究の影響を受けています。リーの大きな目標の一つは、ガロアが代数方程式に対して成し遂げたように、群論の視点から微分方程式の対称性を体系的に分類することでした。この探求の中で、特殊関数や直交多項式に関する重要な方程式が、しばしば群論的な対称性から生まれることが明らかになっていきました。

厳密な定義と関連概念

実リー群 G は、以下の条件を満たす集合 G を指します。

1. G は実数体上の有限次元可微分多様体である。
2. G は群構造を持つ。
3. 群の乗法作用 `(x, y) ↦ xy` および逆元を取る作用 `x ↦ x⁻¹` が、多様体としての G 上の写像として滑らか（可微分）である。

同様に、複素数体上の複素多様体としてこれらの条件を満たすものを複素リー群と呼びます。

圏論の言葉を用いると、リー群は可微分多様体の圏における群対象として簡潔に定義できます。この抽象的な視点は、スーパーグループやリー亜群といった、より一般的な構造への拡張を可能にします。

行列のなす群の中には多くのリー群の例が見られます。これらは行列群または線型代数群と呼ばれます。例としては、可逆な行列全体のなす一般線型群 GL(n, R) や、行列式が 1 の特殊線型群 SL(n, R)、直交群 O(n, R) などがあります。

有限次元性の仮定を外すことで無限次元リー群の概念が得られます。また、基礎体をp-進数体や有限体に取り替えることで、p-進リー群やリー型の群といった類似の構造が研究されています。リー型の群は、有限単純群の分類において重要な位置を占めます。

興味深いことに、1950年代にヒルベルトの第5問題に関連して、位相多様体であって連続な群演算を持つ群には、一意な解析的構造が存在してリー群になることが証明されています。これは、連続な群と滑らかな構造の間にある深いつながりを示唆しています。

具体的な例

リー群は数学や物理学の様々な分野に現れます。

ユークリッド空間 Rⁿ: ベクトルの加法を群演算とすると、最も基本的な可換リー群です。
一般線型群 GL(n, R), 特殊線型群 SL(n, R): 可逆なn次正方行列全体およびそのうち行列式が1の行列全体が、行列の積に関してなすリー群です。
直交群 O(n, R), 特殊直交群 SO(n, R): n次元ベクトル空間の回転や鏡映を伴う変換全体がなす群と、その部分群である回転のみがなす群です。
スピノル群: 特殊直交群の二重被覆として現れ、場の量子論でフェルミ粒子を記述する際に重要です。
斜交群 Sp(2n, R): シンプレクティック形式を保つ行列がなすリー群で、ハミルトン力学などに関係します。
円周群 S¹: 絶対値が1の複素数全体が乗法に関してなすリー群で、しばしば位相群の入門例として用いられます。特定の次元の球面 (S⁰, S³, S⁷ - ただし S⁷ は例外) もリー群構造を持ちます。トーラス群は円周群の直積です。
ローレンツ群、ポアンカレ群: 特殊相対性理論における時空の対称性を表すリー群です。
ハイゼンベルク群: 量子力学に現れる非可換リー群です。
ユニタリ群 U(n), 特殊ユニタリ群 SU(n): 複素ユニタリ行列全体および行列式が1のユニタリ行列全体がなすリー群です。物理学の標準模型のゲージ群 U(1) × SU(2) × SU(3) もこれらの直積として構成されます。
例外型リー群: G₂, F₄, E₆, E₇, E₈ など、特定の次元にのみ存在する特別なリー群です。

既存のリー群から新たなリー群を構成する標準的な方法として、直積を取る、閉じた部分群を考える、正規閉部分群による商を取る、単連結な普遍被覆群を考えるなどがあります。

リー群の分類

リー群は様々な基準で分類されます。代表的なものとして、群としての代数的な性質（単純、半単純、可解、冪零、可換など）や、多様体としての位相的な性質（連結、単連結、コンパクトなど）による分類があります。

任意のリー群 G は、その単位元を含む連結成分 G₀（正規閉部分群）と、それによる商 G/G₀（離散群）に分けられます。連結リー群 G₀ は、さらに可解根基（最大の連結可解正規部分群）や冪零根基（最大の連結正規冪零部分群）といった構造を用いて分解されます。

連結リー群の構造を調べる上で重要なのが、単連結リー群です。任意の連結リー群は、その普遍被覆群（単連結リー群）をその中心に含まれる離散正規部分群で割った商として得られます。

コンパクトリー群の分類は完全に終わっており、それらは単純コンパクトリー群とトーラス群の直積の有限中心拡大として記述されます。単純リー群（またはそれに付随するリー環が単純である連結リー群）の分類も完全に解決済みです。

付随するリー環 (Lie algebra)

リー群 G に対して、その単位元における接空間は、特別な演算（リー括弧積）を備えたベクトル空間となり、リー環と呼ばれる構造を持ちます。このリー環は、もとのリー群の単位元の近くでの「局所的な構造」を完全に捉えています。

リー環の元は、リー群の単位元における接ベクトルと考えることができ、リー群の無限小変換に対応します。リー環の括弧積は、リー群における元の交換子操作 `xyx⁻¹y⁻¹` の無限小版と見なせます。

具体的には、可微分多様体上のベクトル場がなすリー環を利用して定義されます。リー群 G 上の左不変ベクトル場全体はリー括弧積に関してリー環をなし、これは G の単位元における接空間と同一視できます。このようにして得られるリー環を、G に付随するリー環と呼び、通常はリー群を表す文字の小文字（しばしばドイツ文字）で表されます。

付随するリー環は有限次元であり、その次元は元のリー群の次元と等しくなります。二つのリー群が単位元近傍で同型ならば、それらに付随するリー環は同型です。逆に、リー環が同型ならば、対応する単連結リー群は同型です。この緊密な関係により、リー群に関する多くの問題は、より扱いやすい線形代数の対象であるリー環の問題に帰着させて研究することが可能です。例えば、単純リー群の分類は、対応する単純リー環の分類を通じて行われました。

準同型と指数写像

リー群の間には、群準同型でありかつ滑らかな写像でもあるリー群準同型が定義されます。これらの写像は、対応するリー環の間の準同型を引き起こします。このように、リー群をそのリー環に対応させる操作は、圏論的な意味で関手となります。

リー環からリー群への最も重要な写像の一つが指数写像です。行列群の場合、これは行列の指数関数 exp(A) = Σ Aᵏ/k! として定義されます。一般的なリー群の場合、リー環の元 v に対して、実直線 R からリー群 G への準同型写像 c(t) で c'(0) が v に対応するものが一意に存在し、exp(v) = c(1) と定義されます。

指数写像は、リー環の零元近傍からリー群の単位元近傍への可微分同相写像であり、リー群の局所的な構造をリー環の言葉で記述することを可能にします。特に、単位元近傍での群の積は、指数写像を通じてリー環の構造（特にリー括弧積）から復元することができます（ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式）。

ただし、指数写像が常にリー群全体を覆う（全射である）とは限りません。連結なリー群であっても、指数写像の像が真部分集合となる例が存在します。

無限次元の類似

定義上、リー群は有限次元多様体です。しかし、無限次元の多様体上で同様の構造を持つ群も存在し、これらは広義の無限次元リー群と見なされることがあります。例として、多様体上の可微分同相写像全体のなす群や、ゲージ群（多様体から有限次元リー群への滑らかな写像全体のなす群）などが挙げられます。これらの群も、付随するリー環（例えばヴィット環、ヴィラソロ代数、カッツ・ムーディ代数など）とともに、数学や物理学の特定の分野（弦理論、共形場理論、場の量子論など）で重要な役割を果たしています。

リー群論は、幾何学、代数学、解析学が交差する豊かな分野であり、現代数学の多くの領域および理論物理学の基礎をなしています。

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