ハミルトニアン・モンテカルロ法

ハミルトニアン・モンテカルロ法とは

ハミルトニアン・モンテカルロ法（HMC法）は、分子動力学に基づく確率サンプリングの手法で、特にハイパーパラメータの推定やベイズ推定において広く使用されています。このメソッドは1987年にSimon Duaneらによって初めて提案され、その後も多くの分野で活用されています。

ハミルトニアン・モンテカルロ法の基本概念

HMCはマルコフ連鎖モンテカルロ法（MCMC）の一種で、「ハミルトニアン動力学」という物理学の理論を基にしています。この手法では、対象とする確率分布を表すエネルギー関数を用いて、サンプリング過程を模擬します。具体的には、状態空間内の点をエネルギーの高低によって判断し、より良いサンプルを得るために「動力学的な運動」を行います。

HMCの特徴的な点は、遠方の状態への移動を効果的に提案できるところです。これにより、連続したサンプルの相互の相関関係を軽減し、必要なサンプル数を大幅に減少させることが可能です。これが、特に高次元の問題に対して非常に効率的な手法となる理由です。

ハミルトニアン・モンテカルロ法の手順

HMCによるサンプリングは、以下のステップに分かれます。まず、現在の状態から開始し、その状態に基づいて動的な運動を行うための提案行動を生成します。具体的には、現在の位置から運動方程式に基づいて新たな「運動」を導出します。このプロセスには、物理学の概念である質点の運動が重要な役割を果たします。

次に、提案された新しい状態を現在の状態と比較し、受容確率を計算します。受容確率は、提案された状態が確率分布に従って生成される確率を示し、これに応じて新しい状態を受け入れるかどうかを判断します。このようにして、HMCは潜在的なサンプリング空間全体を探ることができます。

メトロポリス・ヘイスティングス法との比較

HMCは、メトロポリス・ヘイスティングス法の実装の一つでもありますが、その効率の高さが際立っています。MCMCの他の方法と比べて、サンプル間の相関を低く保つことで、より少ないサンプル数で同等の精度を得ることが可能です。従って、特に大規模データセットや計算リソースが制限されている状況において非常に有用です。

参考文献

さらなる知識を深めるためには、以下の文献を参照することをお勧めします：

• - Neal, Radford M (2011)による「MCMC Using Hamiltonian Dynamics」
• - Betancourt, Michael (2018)の「A Conceptual Introduction to Hamiltonian Monte Carlo」

HMCは、現代の計算統計学において重要な役割を果たしており、それを利用することでさまざまな問題に対して効率的な解法を提供することが期待されています。

もう一度検索