マルコフ連鎖

マルコフ連鎖について

マルコフ連鎖とは、確率過程の一種であり、特に状態が離散的（有限または可算）なマルコフ過程のことを指します。ここでの「離散的」というのは、採ることができる状態の数が限られていることを意味します。マルコフ連鎖の最も重要な特徴は、それにおける未来の状態が現在の状態にのみ依存し、過去の経歴とは無関係であるという点です。これを「マルコフ性」と呼びます。

定義と特性

形式的には、マルコフ連鎖は一連の確率変数 X1, X2, X3…として定義され、ある時点の状態がどのように未来に影響を与えるかは、以下のように表せます。

$$
Pr(X_{n+1} = x | X_n = x_n, ext{…}, X_0 = x_0) = Pr(X_{n+1} = x | X_n = x_n)
$$

これにより、現在の状態が決まっていれば、過去の状態は考慮する必要がなく、簡潔に条件付けが可能です。

状態空間と呼ばれる連鎖の可能な状態の集合は、可算集合Sとして扱われ、繋がりを持つ状態間の遷移が、グラフのエッジによって示されます。各エッジには、その状態から別の状態への遷移確率が設定されます。マルコフ連鎖の特例として有限状態機械が挙げられますが、これは現在の状態に基づいて次の状態を決定するモデルです。

時間的特性

マルコフ連鎖には、時間的に均一な（または定常的）マルコフ連鎖があります。これは、遷移確率が全ての時間において一定である場合を指し、次の等式が成立します。

$$
Pr(X_{n+1} = x | X_n = y) = Pr(X_n = x | X_{n-1} = y)
$$

一方で、時間に依存するマルコフ連鎖では、状態の遷移が時刻によって変わるため、この等式は成り立ちません。

可約性と周期性

可約性は、ある状態から他の状態への到達可能性に関連しています。状態iから状態jへの遷移確率が0でない場合、状態jは状態iから到達可能であるとされます。すべての状態が互いに到達可能ならば、その集合は「連結類」として定義されます。
また、周期性については、ある状態への回帰が特定の周期でしか起こらないことを示します。これを「状態の周期」という用語で呼び、最大の周期数kに基づき定義されます。

再帰性と定常状態

状態が一時的（状態に戻れない）であるか、再帰的（状態に戻る）であるかは、確率によって判断されます。一時的な状態は、戻る確率が0であるのに対し、再帰的な状態は確実に戻ることが保障されています。

定常状態や極限分布は、時間の経過ともに遷移行列がどのように振る舞うかに関連しています。既約で非周期的なマルコフ連鎖は必ず一つの定常分布を持ち、この時、初期分布に無関係に収束します。

応用

マルコフ連鎖は、多くの分野で幅広く応用されています。物理学では統計力学での建模に用いられ、待ち行列理論や統計的手法にも応用されます。特に、クロード・シャノンによる通信の理論において、情報のエントロピー概念がマルコフ連鎖を使って導入されました。また、GoogleのPageRankアルゴリズムもマルコフ連鎖を基にしています。加えて、隠れマルコフモデルは音声認識やバイオインフォマティクスの領域でも広く用いられています。

マルコフ連鎖の特性は、シンプルながらも強力であり、これをもとに様々な現象をモデル化することが可能です。

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