ハミルトン力学

ハミルトン力学：古典力学の洗練された記述

ハミルトン力学は、イギリスの物理学者ウィリアム・ローワン・ハミルトンによって創始された、古典力学の革新的な定式化です。ニュートン力学をより洗練された数学的枠組みで表現し、量子力学への橋渡しとなる重要な役割を果たしました。本稿では、ハミルトン力学の基礎概念から応用までを詳しく解説します。

ハミルトン力学の概要

ハミルトン力学は、ラグランジュ力学をルジャンドル変換によって再定式化することで得られます。ラグランジュ力学と同様に、様々な物理現象の記述に適用可能な汎用性の高い体系です。

特に量子力学においては、ハミルトン力学が重要な役割を果たします。古典力学における物理量を演算子に置き換え、演算子間に正準交換関係を設定することで、量子力学的な記述へと拡張できます。この手法は正準量子化と呼ばれ、量子力学の基礎となっています。また、量子多体系を扱うTDHF近似も、ある変換の下でハミルトン力学と等価であることが知られており、古典力学と量子力学の深い関係性を示唆しています。

ハミルトン力学の大きな特徴は、運動方程式が一般化座標と一般化運動量を用いて対称的に記述される点です。変数の数が2倍になることで運動方程式の数も増えますが、二階微分方程式が扱いやすい一階微分方程式に帰着します。この対称性は、力学系の構造を理解する上で非常に重要です。

ハミルトン力学の定式化

ハミルトン力学では、力学系の状態は一般化座標 q(t) = (q₁ (t),…) と一般化運動量 p(t) = (p₁ (t),…) で記述されます。系の性質は、これらの変数と時間を引数とするハミルトン関数（ハミルトニアン）H(p, q; t) で完全に決定されます。

ハミルトン形式での作用汎関数は、時間積分によって与えられます。最小作用の原理に基づき、作用汎関数の停留条件から運動方程式が導かれます。この運動方程式は、正準方程式またはハミルトン方程式と呼ばれ、以下の形をしています。


dqᵢ/dt = ∂H/∂pᵢ
dpᵢ/dt = -∂H/∂qᵢ


ここで、∂H/∂pᵢ と ∂H/∂qᵢ はそれぞれハミルトニアンを一般化運動量と一般化座標で偏微分したものを表します。

物理量は一般化座標、一般化運動量、時間の関数 A(p, q, t) として表現され、その時間微分はハミルトニアンとのポアソン括弧を用いて記述できます。

ハミルトニアン

ハミルトニアンは、ラグランジアン L から以下の関係式で定義されます。


H = Σᵢ pᵢq̇ᵢ - L


運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和で表されるラグランジアンの場合、ハミルトニアンは系の全エネルギーに一致します。ハミルトニアンが時間に陽に依存しない場合、系の全エネルギーは保存されます。ハミルトニアンは、一般化座標、一般化運動量、時間の関数であり、引数が異なれば同じ値であってもハミルトニアンとはみなされません。

正準変換

正準変換とは、一般化座標 q と一般化運動量 p から新しい一般化座標 Q と一般化運動量 P への変換で、変換後のハミルトニアン H'(P, Q, t) を用いて正準方程式の形が保たれる変換です。一般化座標と一般化運動量は正準変換によって混ざり合い、正準共役量と呼ばれます。正準共役量 p, q によって張られる空間は位相空間と呼ばれ、正準変換は位相空間間の変換と解釈できます。

ポアソン括弧

ポアソン括弧は、正準変数と時間の関数である物理量 A, B に対して以下のように定義される物理量です。


{A, B} = Σᵢ (∂A/∂qᵢ ∂B/∂pᵢ - ∂A/∂pᵢ ∂B/∂qᵢ)


物理量の時間微分は、ハミルトニアンとのポアソン括弧を用いて表現できます。物理量が時間に陽に依存しない場合、その時間微分はハミルトニアンとのポアソン括弧に等しくなります。量子力学では、ポアソン括弧は正準交換関係に対応付けられます。

ハミルトン力学の導出

ラグランジュ力学からハミルトン力学を導出する過程は、ラグランジアンの全微分と一般化運動量の定義式を用いて行われます。ラグランジュの運動方程式と一般化運動量の定義からハミルトニアンが導かれ、正準方程式が得られます。この導出過程は、ラグランジュ力学とハミルトン力学の深い関係性を示しています。

まとめ

ハミルトン力学は、古典力学をより洗練された数学的枠組みで表現するだけでなく、量子力学への発展にも重要な役割を果たした、現代物理学における基盤となる理論です。そのエレガントな構造と広範な応用可能性は、今後も物理学研究において重要な位置を占めるでしょう。

もう一度検索