全微分

多変数関数の全微分

多変数関数における全微分は、関数の変分が外生変数の微小変化によってどれだけ変化するかを示す指標です。単に微分と呼ばれることも多く、偏微分と区別するために用いられます。偏微分が特定の変数のみを変化させた際の関数の変化率を表すのに対し、全微分は全ての変数の変化を考慮します。

偏微分との違い

偏微分は、他の変数を一定に保ったまま、特定の変数のみを変化させた際の関数の変化率を表します。一方、全微分は、全ての変数が同時に変化した場合の関数の変化率を表します。この違いは、変数間に依存関係がある場合に顕著になります。

例えば、関数 f(x, y) があり、y が x の関数であるとします。x に関する f の偏微分は、y を一定に保ったまま x を変化させた際の変化率しか捉えられません。しかし、全微分は y の変化も考慮することで、x の変化に対する f の真の変化率を計算できます。

全微分の計算

全微分の計算は、連鎖律を用いて行います。関数 f(t, x, y) の t に関する全微分は、以下の式で表されます。

\(\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}\)

この式は、t の変化が f に直接与える影響と、x と y の変化を通して間接的に与える影響の合計を表しています。

陰伏的な変数間の関係

全微分は、変数間に陰伏的な関係がある場合でも、関数の変化率を正しく計算できます。例えば、f(x, y) = xy であり、y = x という制約条件がある場合、x に関する f の偏微分は y を一定に保てないため、正しく変化率を計算できません。しかし、全微分を用いることで、この制約条件を考慮した上で、x の変化に対する f の変化率を計算できます。

全微分可能性

関数 F: U → R^m (U は R^n の開集合) が点 p において全微分可能であるとは、線形写像 L: R^n → R^m が存在し、以下の式が成り立つことを意味します。

\(\lim_{h \to 0} \frac{||F(p + h) - F(p) - L(h)||}{||h||} = 0\)

この線形写像 L が全微分であり、DF(p) などで表されます。全微分可能性は、関数が局所的に線形変換で近似できることを意味します。

フレシェ微分

フレシェ微分は、無限次元空間上の全微分の一般化です。全微分と同様に、局所線型近似としての性質を受け継ぎます。

まとめ

全微分は、多変数関数の変化率を正確に捉えるための強力なツールです。特に、変数間に依存関係がある場合や、関数が複数の変数に依存する場合に有効です。偏微分との違いを理解し、連鎖律を用いた計算方法を習得することで、より深い微分積分学の理解につながります。また、全微分可能性の概念は、関数の局所的な性質を理解する上で重要な役割を果たします。

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