ハーンの分解定理

ハーンの分解定理

ハーンの分解定理とは、オーストリアの数学者ハンス・ハーンの名に由来する定理です。この定理は、可測空間
(X, Σ) およびその σ-代数 Σ において定義される符号付測度 μ に関して、特定の条件を満たす二つの可測集合 P と N の存在を示します。具体的には、下記の条件が成り立つ可測集合が存在します。

1. 集合PとNの合併: P ∪ N = X
2. 集合PとNの交差: P ∩ N = ∅
3. 正集合の条件: Pに属する任意の可測集合 E に対して、μ(E) ≥ 0
4. 負集合の条件: Nに属する任意の可測集合 E に対して、μ(E) ≤ 0

この分解はほぼ一意に定まります。つまり、他の可測集合のペア (P′, N′) が上記の条件を満たす場合、対称差 P Δ P′ および N Δ N′ は、全ての可測な部分集合の測度が0である強い意味でμ-零集合であることが示されます。このようなペア (P, N) は、符号付測度μの「ハーン分解」と呼ばれます。

ジョルダン分解

ハーンの分解定理には、ジョルダンの分解定理（Jordan decomposition theorem）という重要な帰結があります。それは、任意の符号付測度 μ には、二つの正の測度 μ+ と μ− の差 μ = μ+ − μ− で表すことができる唯一の分解が存在するというものです。ここでμ+およびμ−はそれぞれ、μ の正部分と負部分を表します。任意の可測集合 E に対して、次のような関係が成り立ちます。

• - E ⊆ P の場合 μ+(E) = 0
• - E ⊆ N の場合 μ−(E) = 0

このように定義された (μ+, μ−) のペアは、μ の「ジョルダン分解」あるいはしばしば「ハーン＝ジョルダン分解」と呼ばれます。

ジョルダン分解の性質

ジョルダン分解にはいくつかの重要な性質があります。その一つとして、ある有限符号付測度 μ の共有されたジョルダン分解 (μ+, μ−) が与えられた場合、任意の集合 E に対して次の式が成り立ちます：

• - μ+(E) = sup {μ(B) | B ∈ Σ, B ⊆ E}
• - μ−(E) = -inf {μ(B) | B ∈ Σ, B ⊆ E}

また、もし有限な非負測度のペア (ν+, ν−) に対して μ = ν+ − ν− であるならば、常に ν+ ≥ μ+ および ν− ≥ μ− が成り立ちます。この関係から、ジョルダン分解は非負測度の差への「極小」分解であることが理解できます。この特性は「極小性」と呼ばれます。

ハーンの分解定理の証明

ハーンの分解定理の証明は、準備としてμがマイナス無限大を取らないことを仮定します。具体的には、任意の負集合 A が存在するかどうかの判断を行います。ここで、ある集合 D が負集合であると仮定し、μ(A) ≤ μ(D) となる負集合 A が存在することを示します。

各種の討議に基づき、帰納的に構築された集合 An を用いて、μの性質を運用して負集合 A を得る方法を取ります。これにより、負集合と正集合が分かれ、最終的に P と N を定義して分解を完成させます。

一意性の証明

他のハーン分解 (N′, P′) が存在すると仮定した場合、P ∩ N′ が正集合でも負集合でもあることから、全ての可測部分集合の測度が0であることが示され、最終的に PΔP′および NΔN′から結論が導かれ、一意性が保証されます。

参考文献

• - Billingsley, P. (1995) "Probability and Measure"(3rd ed.), Wiley.
• - Fischer, T. (2012) “Existence, uniqueness, and minimality of the Jordan measure decomposition”. arXiv:1206.5449 [math.ST].

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