符号付測度

符号付測度について

符号付測度とは、値が負であっても許可される、一般化された測度の一つです。この概念は、電荷のように正負の値を持つ物理的な現象をモデル化するために用いられます。特に、数学における測度論と関連して、符号付測度は実数に加えて無限大や負の無限大の値を取ることができます。

定義

符号付測度は、特にその値が有限である場合と、無限大の値も取る場合に分けられます。学術論文などの専門的な資料では、通常、有限の値を持つ符号付測度が扱われますが、一部の教科書では無限大の値を持つものについても議論されています。これらの2つの概念は「有限符号付測度」と「拡張符号付測度」として区別されます。

与えられた可測空間 (X, Σ) において、拡張符号付測度は次のように定義されます。測度μが空集合に対してゼロであり、またσ-加法性を満たす標準的な関数です。ここで、μは次のように表されます。

$$
egin{align}
ext{μ : Σ → R ∪ {∞, -∞}}
ext{μ(∅) = 0}
ext{σ-additive}
ext{μ(⋃Ai) = ∑μ(Ai)}
ext{(任意の互いに素な集合の列)}
ext{(i=1から∞)}
ext{(μはσ-additive)}
ext{な非負測度を満たすことが必要です。}
egin{align}
$$

したがって、すべての拡張符号付測度は +∞ または −∞のいずれかの値を取ることが可能ですが、同時に両方を取ることはできません。これは、無限大と負の無限大の計算は無定義であるためです。

有限符号付測度も同様の性質を持ちますが、こちらは実数だけを値として持ちます。すなわち、+∞ や −∞ の値は持たないのです。

例

非負の測度νに対し、可測関数fを用いた場合、ある条件を満たすものであれば、以下のような有限符号付測度が定義できます。

$$
ext{μ(A) = ∫A f(x) dν(x)}
$$

この定義に従えば、この符号付測度は有限の値しか持ちません。
また、無限大を取るようにするためには、fの条件を緩和する必要があります。具体的には、fの負の部分の積分が有限であることが求められます。

性質

拡張符号付測度は、二つの非負測度の差として表現できますが、有限符号付測度は非負の有限符号付測度の差として捉えることができます。

ハーンの分解定理により、符号付測度μは、正集合と負集合に分けられ、それぞれの条件を持つことが保証されます。この分解は一意性があり、以下のように定義されます。

• - 正部分: $$μ+(E) = μ(P ∩ E)$$
• - 負部分: $$μ-(E) = -μ(N ∩ E)$$

このように、符号付測度はその正の部分と負の部分を用いて表現され、その全変動と呼ばれるものを考える際にも役立ちます。すなわち、全変動は以下のように表されます。

$$|μ| = μ+ + μ-$$

符号付測度の空間

有限符号付測度同士の加算は、依然として有限符号付測度であり、また有限符号付測度に実数を掛けることも同様です。このため、有限符号付測度の集合は実ベクトル空間を形成します。
さらに、この空間はデデキント完備のバナッハ束であると示されます。

以上の内容から、符号付測度は数学のさまざまな分野において極めて重要であり、それを理解することは測度論の基礎を築く上で不可欠です。

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