バウムクーヘン積分

バウムクーヘン積分：回転体の体積を計算する革新的手法

バウムクーヘン積分、または円殻積分・円殻法は、回転体の体積を計算するための強力な手法です。その名は、バウムクーヘンの層状構造を思わせる計算方法に由来します。この方法は、回転軸に垂直な方向に積分を行う点が、回転軸に平行に積分を行う円板積分と大きく異なります。

円板積分との比較

円板積分は、回転軸に平行な薄い円盤を積み重ねて体積を求めます。一方、バウムクーヘン積分は、回転軸に垂直な薄い円筒殻を積み重ねて体積を求めます。どちらの方法が適しているかは、対象となる回転体の形状によって異なります。複雑な形状の回転体では、バウムクーヘン積分のほうが計算が容易になる場合があります。

公式と計算方法

xy-平面上での断面をy軸の周りに回転させてできる回転体の体積を考えます。断面が区間[a, b]上の正関数f(x)で定義されている場合、バウムクーヘン積分の公式は以下のようになります。

$2\pi \int_{a}^{b}xf(x)dx$

これは、半径x、高さf(x)、厚さdxの薄い円筒殻の側面積$2\pixf(x)$を区間[a, b]で積分することで得られます。

回転軸がx軸である場合、または回転軸がx=h、y=kなどの直線である場合も、同様の公式が導き出せます。具体的には、回転軸からの距離を積分式に組み込む必要があります。回転軸がx=hの場合の公式は以下のように場合分けされます。

$2\pi \int_{a}^{b}(x-h)f(x)dx$ (h ≤ a < b)

$2\pi \int_{a}^{b}(h-x)f(x)dx$ (a < b ≤ h)

これらの公式は、極座標系を用いた二重積分によって導出できます。

計算例

関数 y = (x − 1)²(x − 2)²、区間 [1, 2] の断面をy軸の周りに回転させた回転体の体積を計算してみましょう。

円板積分を用いる場合、yに対応するxの値を求め、さらに回転体の内部に空洞があるため、内外両方の関数を考慮する必要があります。しかし、バウムクーヘン積分では以下の公式を用いることで計算が簡略化されます。

$2\pi \int_{1}^{2}x((x-1)^{2}(x-2)^{2})dx$

この積分を計算することで、回転体の体積がπ/10であることがわかります。

結論

バウムクーヘン積分は、特定の形状の回転体の体積計算において、円板積分よりも効率的で簡潔な方法を提供します。回転軸に垂直な方向からの積分というアプローチは、複雑な形状の体積計算を容易にし、数学的処理の負担を軽減する効果があります。様々な応用分野で利用される強力な手法として、その重要性はますます高まっています。

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