回転体

回転体：平面曲線の回転で生まれる立体図形

数学、工学、そして製造業の分野において、回転体は重要な役割を担う立体図形です。回転体は、平面上の曲線を、その平面内にある直線を軸として回転させることで得られます。この回転によって生じる立体が、回転体です。軸と交わらない曲線を回転させた場合、その体積は、母線となる曲線が描く図形の面積と、回転の中心軌跡の長さ（円周）の積で表されます。これはパップスの第二中心軌跡定理として知られています。

回転体の体積を求める際には、微小な部分に分割して考えるのが一般的です。この微小な部分を『代表円板』と呼びます。代表円板は、回転軸から距離rの位置にある長さwの線分を回転させることで生成され、その体積はπr²wの円柱体積となります。

回転体の体積計算：円板法と円筒法

回転体の体積を求める主な手法として、円板法と円筒法が挙げられます。これらの手法は、対象となる図形のグラフを描画することで容易に理解できます。

円板法

円板法は、回転体を回転軸に垂直な薄い円板に分割し、それらの体積を積分することで全体の体積を求める方法です。曲線f(x)とg(x)、および直線x=a、x=bで囲まれた領域をx軸の周りに回転させた回転体の体積Vは、以下の式で表されます。

V = π ∫_a^b |f(x)² - g(x)²| dx

g(x) = 0の場合、式は簡略化され、以下のようになります。

V = π ∫_a^b f(x)² dx

この方法は、y軸方向に薄い矩形を考え、それをy軸周りに回転させることで、外径R=f(y)、内径r=g(y)の環状体（g(y)=0の場合は円板）が生成されるとイメージすると理解しやすくなります。環状体の面積はπ(R² - r²)で表され、各円板の体積はπf(y)²dyとなり、これらの体積の総和（リーマン和）の極限が上記の積分となります。

円筒法

円筒法（年輪法）は、回転体を回転軸に平行な薄い円筒殻に分割して積分する方法です。曲線f(x)とg(x)、および直線x=a、x=bで囲まれた領域をy軸の周りに回転させた回転体の体積Vは、以下の式で与えられます。

V = 2π ∫_a^b x|f(x) - g(x)| dx

g(x) = 0 の場合は、

V = 2π ∫_a^b x|f(x)| dx

となります。

この方法では、x軸方向に高さ[f(x)-g(x)]の薄い矩形を考え、y軸周りに回転させることで円筒殻を生成するとイメージします。円筒殻の側面積は2πrh = 2πx[f(x) - g(x)]で表され、これらの側面積の総和が体積となります。

媒介変数表示による体積と表面積

曲線が媒介変数t∈[a,b]を用いて(x(t), y(t))と表されている場合、x軸またはy軸周りの回転体の体積、表面積はそれぞれ以下の式で計算できます。

x軸回転:

体積：Vx = ∫_a^b πy²(dx/dt)dt

表面積：Ax = ∫_a^b 2πy√((dx/dt)² + (dy/dt)²)dt

y軸回転:

体積：Vy = ∫_a^b πx²(dy/dt)dt

表面積：Ay = ∫_a^b 2πx√((dx/dt)² + (dy/dt)²)dt

これらの式を用いることで、複雑な形状の回転体の体積や表面積を正確に求めることができます。

関連事項

回転体の概念は、ガブリエルの角笛、ギュルダンの定理、擬球面、回転面などの数学的概念と密接に関連しています。これらの概念を理解することで、回転体に関するより深い知識を得ることができます。

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