バックトラッキング

バックトラッキングとは

バックトラッキングは、制約充足問題における解を求めるための探索アルゴリズムの一種です。力まかせ探索を改良したもので、無駄な探索を減らし、効率的に解を見つけ出すことを目的としています。アメリカの数学者デリック・ヘンリー・リーマーによって1950年代に考案されました。

制約充足問題とバックトラッキング

制約充足問題とは、与えられた変数が特定の制約条件を満たすように値を設定する問題です。バックトラッキングでは、変数の値の組み合わせを試行錯誤しながら解を探します。この時、部分的な組み合わせが制約を満たさないと判断された場合、その組み合わせを探索せずに別の組み合わせを試みます。

バックトラッキングの重要な特徴は、組み合わせの一部を評価し、それが解につながる可能性がないと判断された場合、その先の探索を打ち切る点にあります。この仕組みにより、探索時間を大幅に短縮できます。また、バックトラッキングは組み合わせ最適化と密接に関連しており、多くの最適化問題の解決に役立ちます。

アルゴリズムの実装

バックトラッキングは、深さ優先探索を基本としたアルゴリズムで、正しい解が見つかるまで可能な組み合わせを試していきます。具体的には、以下の手順で進みます。

1. 変数の値を一つ決定し、部分的な解を生成します。
2. 部分解が制約を満たすかを確認します。
3. 制約を満たしていれば、次の変数の値を決定し、制約を満たさなければ、直前の変数の選択に戻り、別の値を試します。
4. 全ての変数の値を決定し、制約を満たしていれば解が見つかり、そうでなければ、探索を続けます。

一般に、バックトラッキングは再帰関数として実装されます。再帰呼び出しごとに変数の値を設定し、残りの変数を自由変数として再帰的に呼び出します。バックトラッキングは、深さ優先探索と似ていますが、解の状態を一つだけ保持し更新していくため、メモリ使用量が少ないという利点があります。

高速化のためのヒューリスティクス

バックトラッキングを高速化するために、いくつかのヒューリスティクス（経験則）が用いられます。

変数選択の最適化:
制約の厳しい変数、つまり取り得る値の範囲が狭い変数から優先的に探索することで、探索木の刈り込みを効率的に行うことができます。これにより、早期の選択が探索に与える影響を最大限に活用できます。
値選択の最適化:
値を設定する際、他の変数の選択肢を制限しない値を優先的に選択します。これにより、解を見つける可能性を高めたり、未解決の制約がないときに解が見つかっている状態になるようにします。
束縛関数:
部分解が解につながるかをチェックする束縛関数を実装します。これにより、無駄な探索を早期に発見できます。束縛関数の計算コストを低く抑えることが、全体の効率を高めるために重要となります。この関数は、問題の規則を部分的に緩めることで実現できます。

その他の実装テクニック

バックトラッキングの実装では、変数の更新履歴を記録し、バックトラック時に値を復元するために「変数の航跡」を保持することが一般的です。また、変数の最新の変化のタイムスタンプを保持し、選択点のタイムスタンプと比較することで、効率的に変数を復元する方法もあります。

バックトラッキングの応用

バックトラッキングは、様々な分野で応用されています。

正規表現の実行:
正規表現エンジンでは、複雑なパターンを文字列にマッチングさせるために、バックトラッキングが用いられます。
プログラミング言語の実装:
PlannerやPrologなどのプログラミング言語では、バックトラッキングを基にした実行モデルを採用しています。
構文解析:
コンパイラなどの構文解析器では、バックトラッキングが利用されています。
* 人工知能:
人工知能分野では、問題解決や探索アルゴリズムとしてバックトラッキングが利用されています。

まとめ

バックトラッキングは、制約充足問題を解くための強力なアルゴリズムであり、効率的な探索を実現するために様々な工夫が凝らされています。その応用範囲は広く、今後も様々な分野で利用されていくでしょう。

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