バーンズリーのシダ

バーンズリーのシダは、イギリスの数学者であるマイケル・バーンズリーによって生み出された、非常に有名なフラクタル図形の一つです。その名前は考案者自身にちなんでおり、彼は著書『Fractals Everywhere』の中でこの図形について詳しく解説しています。このシダは、チャセンシダ科のミヤマカワリシダ（Asplenium adiantum-nigrum）という植物の姿を模倣して作られています。

フラクタルと自己相似性

フラクタルとは、いくら拡大してもその一部が全体の形と相似になっているという「自己相似性」という性質を持つ図形のことです。バーンズリーのシダも、この自己相似性の良い例です。コンピュータを使って数式を繰り返し適用することで、視覚的に複雑でありながら、その内側に繰り返しパターンが見られる美しい図形が描かれます。これは、シェルピンスキーの三角形など他の有名なフラクタルと同様に、比較的単純な規則からいかに豊かな形が生まれるかを示しています。

バーンズリーの研究は、ジョージア工科大学で行われたフラクタル幾何学に関する講義内容に基づいています。彼の1988年の著書『Fractals Everywhere』が出版された後、フラクタル測定理論といった関連分野も発展しました。バーンズリーの作品は、自然界の形状を数学的なモデルで表現しようとする多くのグラフィックアーティストや研究者に大きな影響を与えています。

シダの生成原理：反復関数系（IFS）

バーンズリーがシダの生成に用いた方法は、「反復関数系（IFS：Iterated Function System）」と呼ばれるものです。これは、複数の関数（この場合はアフィン変換）を繰り返し適用することで、ある特定の図形（アトラクターと呼ばれます）に収束させる手法です。IFSによる図形の生成は、コラージュ定理という数学的な背景によって保証されています。バーンズリー自身も、IFSを使って植物の構造など、科学技術分野における様々な自然現象をモデル化する研究を行いました。

4つの変換とカオスゲーム

バーンズリーのシダをコンピュータで描く際には、具体的に4種類のアフィン変換が使用されます。アフィン変換とは、点の座標を拡大、縮小、回転、平行移動させる変換の組み合わせです。バーンズリーはこれらの変換を定義する係数を特定の行列として示しました。

シダを生成するためには、まず適当な点（例えば原点 (0, 0)）から出発し、この4種類の変換のいずれかを繰り返し適用して新しい点を計算し、それを描画していきます。どの変換を使うかは、それぞれの変換にあらかじめ定められた確率に従ってランダムに決定されます。例えば、ある変換は85%の確率で、別の変換は7%の確率で選ばれるといった具合です。この確率的な選び方によって図形を生成する手法は、カオスゲームとも呼ばれており、確率論的反復関数系の初期の例です。

個々の変換はシダの異なる部分を形成する役割を担っています。

変換1（確率1%）: シダの最も下の茎の基部（根本）を生成します。この変換は適用される確率が非常に低いです。
変換2（確率85%）: シダの全体の形、特に大きな葉のような部分を主に生成します。この変換が全体の構造を決定づける最も重要な役割を果たします。
変換3（確率7%）: シダの左側の羽片（葉の小部分）を生成します。特定の傾きや回転を与えます。
変換4（確率7%）: シダの右側の羽片（葉の小部分）を生成します。これも特定の変換で右側の葉を形作ります。

これらの変換を数万回、あるいはそれ以上の回数繰り返して点をプロットしていくことで、最終的にミヤマカワリシダによく似た美しいフラクタル図形が浮かび上がってきます。IFSの性質上、出来上がったシダ全体の中に、それぞれの小さな羽片や茎の部分が、全体を縮小した形で含まれている様子を見ることができます。

様々なバリエーション

バーンズリーのシダを定義するアフィン変換の係数を変更することで、元のシダとは異なる形状を持つ様々な「品種」や「変種」のシダ状フラクタルを作成することが可能です。バーンズリーは、このような複数の変数を持つフラクタルを「スーパーフラクタル」と呼んでいます。実際に、係数を調整することで、自然界に存在する他の種類のシダ植物（例えば、CyclosolusやThelypteridaceae科のシダ）に似た、非常にリアルなフラクタル図形を作り出すことも試みられています。

コンピュータでの実現

バーンズリーのシダは、理論的には手計算でも可能ですが、必要な反復回数が膨大なため、現実的にはコンピュータプログラムを用いて描画されます。バーンズリーが公開した係数行列を使えば、どのプログラミング言語（Python, R, JavaScriptなど）やツールを使っても、同じ形状のシダを再現することができます。また、表計算ソフトを使って、乱数に基づく変換の選択と座標計算を繰り返すことでも、その原理を理解し、シダを描画することが可能です。

バーンズリーのシダは、数学的な概念が自然の複雑な美しさをどのように表現しうるかを示す、魅力的で教育的な例であり、数学、コンピュータグラフィックス、さらには生物学の分野にも示唆を与えるものです。

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