パスカルの蝸牛形

パスカルの蝸牛形（リマソン）

パスカルの蝸牛形は、17世紀の数学者ブレーズ・パスカルにちなんで名付けられた、特徴的な形状を持つ平面曲線です。フランス語で「カタツムリ」を意味する「リマソン（limaçon）」という別名でも広く知られています。この曲線は、比較的単純な数式で定義されるにもかかわらず、そのパラメータの値によって多様な形態をとることが大きな特徴です。

定義と形状

パスカルの蝸牛形は、極座標 `(r, θ)` を用いることで最も簡潔に表現できます。その方程式は以下の通りです。


r = a cos θ + l


ここで、`r` は原点からの距離、`θ` は始線（通常は正のx軸）からの角度（偏角）です。`a` と `l` は曲線の形状を決定する実数の定数パラメータです。これらのパラメータの相対的な値、特に `l` と `a` の比率によって、蝸牛形は様々な形状に変化します。

• - `l > a` の場合：内側にループのない滑らかな卵形または円に近い形。
• - `l = a` の場合：原点で尖った一点を持つカージオイド（心臓形）。
• - `l < a` かつ `l ≠ 0` の場合：内側にループを持つ形。
• - `l = 0` の場合：中心が原点ではない円（厳密には極座標の表現で円となる）。

直交座標での表現

パスカルの蝸牛形は、直交座標 `(x, y)` においても方程式で表すことができます。極座標の定義式を変換すると、以下の複雑な多項式方程式が得られます。


(x^2+y^2-ax)^2 - l^2(x^2+y^2) = 0


この方程式の形から、パスカルの蝸牛形が常に `x` 軸に関して線対称な図形であることがわかります。

パラメータ表示

θ をパラメータとして、曲線上の任意の点の座標 `(x, y)` を以下のようにパラメータ表示することも可能です。


x = (a cos θ + l) cos θ
y = (a cos θ + l) sin θ


この表示は、曲線を動点として捉えたり、コンピュータグラフィックスで描画したりする際に役立ちます。

弧長の計算

パスカルの蝸牛形の弧長、すなわち曲線上の道のりの長さを計算することは、一般的な曲線と同様に重要です。しかし、この曲線の弧長 `s(θ)` は、残念ながら基本的な関数だけでは表現できません。

パスカルの蝸牛形の弧長は、第二種楕円積分という特殊な関数 `E(φ, k)` を用いることで計算されます。具体的な式は以下の通りです。


s(θ) = 2(a+l) E(θ/2, 2√(al)/(a+l))


このことは、パスカルの蝸牛形が単純な定義を持つ一方で、その幾何学的な性質の計算には高度な数学が必要とされることを示しています。

特殊なケース：カージオイド

パラメータ `a` と `l` の値が等しい、すなわち `a = l` であるパスカルの蝸牛形は、特にカージオイド（心臓形）と呼ばれます。カージオイドは、パスカルの蝸牛形がとる多様な形状の中で最もよく知られている一つであり、パスカルの蝸牛形が持つ豊かな性質を示す典型例です。

パスカルの蝸牛形は、その比較的単純な定義と、パラメータによって大きく変化する多様な形状、そして弧長計算における楕円積分の必要性など、数学的に興味深い性質を多く持つ曲線として、古くから研究されています。

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