カージオイド

カージオイド

カージオイド（英語: cardioid）は、心臓に似た形を持つ平面曲線の一種です。そのため日本語では心臓形（しんぞうけい）とも呼ばれます。この名称は、ギリシア語で「心臓」を意味する "καρδιά (kardia)" と「形」を意味する "είδος (eidos)" を組み合わせた "καρδιοειδής (kardioeides)" に由来しています。

数学的表現

カージオイドは、いくつかの異なる数学的表現で定義できます。最も一般的なのは極座標による方程式です。パラメータ `a` は曲線の大きさを決定する正の定数です。

極座標方程式

原点を極とし、x軸の正の方向を始線とする極座標 (r, θ) において、カージオイドは次の方程式で表されます。

`r = a(1 + cos θ)`

この式は、角度 `θ` に応じて原点からの距離 `r` がどのように変化するかを示しており、0 ≦ θ < 2π の範囲で一周するとカージオイドの閉曲線が描かれます。

直交座標方程式

直交座標 (x, y) では、カージオイドは以下の代数方程式によって定義されます。

`(x² + y²)(x² + y² - 2ax) - a²y² = 0`

この式は極座標方程式から座標変換を行うことで導出できます。

媒介変数表示

角度 `θ` を媒介変数とすることで、カージオイド上の点の x座標と y座標を以下のように表すこともできます。

`x = a(1 + cos θ) cos θ`
`y = a(1 + cos θ) sin θ`

この表示は、曲線の描画や解析に利用されます。

幾何学的性質

カージオイドは多くの興味深い幾何学的性質を持っています。

関連曲線: カージオイドは、円が別の同じ半径の円の外周を滑ることなく回転するとき、円周上の定点が描く軌跡として定義されるエピサイクロイドの一種です。また、より一般的な曲線であるパスカルの蝸牛形（リマソン）の特殊なケースとしても位置づけられます。
垂足曲線: 半径 `a` の円に対して、その円周上の点を垂足点として定義される垂足曲線はカージオイドになります。
対称性と特異点: カージオイドはx軸に関して線対称な形状を持ちます。原点Oは曲線の尖った部分であり、尖点と呼ばれます。
主要な交点: 曲線はx軸とは原点Oと点 (2a, 0) で交わります。y軸とは点 (0, ±a) で交わります。
最遠点: x軸から最も離れた点の座標は `(3/4 a, ± 3√3/4 a)` です。
面積と弧長: カージオイドが囲む面積 `S` は `S = 3/2 π a²` で与えられます。また、曲線の全長（弧長）`l` は `l = 8a` となります。
曲率半径: 媒介変数 θ の地点における曲線の曲率半径は `(4a/3) sin(θ/2)` で計算されます。
尖点を通る弦: 尖点（原点）を通る任意の直線とカージオイドとの交点のうち、原点以外の点までの距離（弦の長さ）は常に一定で `2a` となります。さらに、尖点を通る任意の弦の中点は、尖点を通り直径が `a` の円の円周上に位置するという性質があります。

これらの性質から、カージオイドは古くから数学者によって研究されてきた豊かな曲線であることがわかります。

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