ヒルの式

ヒルの式（Hill equation）

ヒルの式は、1910年にアーチボルド・ヒルによって提唱された生化学的な方程式であり、主にヘモグロビンと酸素の結合に関する協同効果を記述するために用いられています。この式は、リガンド結合のメカニズムを理解する上で非常に重要です。特に、特定のリガンドがすでに結合している場合、さらなるリガンドの結合が促進されるという性質を示しています。

概要

ヒルの式は、アロステリックタンパク質におけるリガンドの結合を考慮しています。アロステリックタンパク質は、その構造変化によりリガンドの結合に対して協同的な性質を持つことがあります。これを正の協同効果と呼び、この効果はシグモイド曲線で可視化されます。

ヒルの式は、リガンドによって占有される結合部位の割合（θ）とリガンドの濃度（[L]）との関係を以下のように表します。

$$
θ = \frac{[L]^n}{K_d + [L]^n} = \frac{[L]^n}{(K_A)^n + [L]^n}
$$

ここで、

• - θは受容体タンパク質の結合部位の占有割合です。
• - [L]は非結合のリガンド濃度を示します。
• - K_dは解離定数で、リガンドがタンパク質から解離する際の平衡状態を表します。
• - K_Aは半分飽和しているリガンド濃度であり、近年はK_Dと表記されることが増えています。
• - nはヒル係数であり、協同性の指標として機能します。

ヒル係数の解釈

ヒル係数は、リガンドの結合における協同性を示す重要なパラメータです。nが1の場合、リガンドは飽和度に依存せずに独立して結合します。この状態はミカエリス・メンテン式と同様の形になります。一方、nが1より大きい場合は正の協同効果、すなわち飽和度の上昇に伴いリガンド結合が促進される状況を示します。逆に、nが1より小さい場合は負の協同効果を示し、これはリガンドが結合するにつれてその後の結合が抑制されることを意味します。この協同効果はアロステリック抑制とも関連します。

ヘモグロビンのヒル係数は約2.8から3の範囲で変化し、これはボーア効果や2,3-ジホスホグリセリン酸などの要因によって影響を受けることがあります。

数学的表現とデータ解析

ヒルの式を変形した後、両辺の対数を取ることでデータ解析が容易に行えます。この関係は次のように表現できます。

$$
\log \left(\frac{θ}{1-θ}\right) = n\log [L] - n\log K_A
$$

この式に基づいて、log[θ/(1-θ)]とlog[L]のグラフを描いたものをヒルプロットと呼びます。これにより、実験データの解析が直感的に行えます。

理論的な解釈

リガンド濃度のn乗という形を取るヒルの式は、ラングミュアの吸着等温式と類似しており、\( n = 1 \)のときはミカエリス・メンテン式とも同じ形式を取ります。この概念は、n個のリガンドからなるクラスターの結合を基にすることができる一方、現実の生体タンパク質ではそうした単純な解釈が当てはまらない場合も多いです。したがって、ヒル係数は協同性の度合いを示す指標として理解されるべきです。

また、リガンド濃度を対数変換することでヒルの式はロジスティック関数としても扱われ、これは広範囲の濃度で飽和率が安定している際のモデルとして利用できます。

関連項目

• - アロステリック効果
• - 酵素反応
• - ミカエリス・メンテン式

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