ヒルベルト立方体
数学の分野において、ヒルベルト立方体は、位相空間論における基本的な概念の一つであり、多くの興味深い性質を示す例として知られています。ドイツの数学者であるダフィット・ヒルベルトにその名を由来しています。この空間は、多様な位相空間をその内部に「埋め込む」、すなわち部分空間として見なすことができるという重要な特徴を持っています。
ヒルベルト立方体は、可算無限個の閉区間 `[0, 1/n]` （ただし n は 1 から始まる正の整数全体を渡る）の直積として定義され、これに直積位相を入れたものです。具体的には、
`[0, 1] × [0, 1/2] × [0, 1/3] × [0, 1/4] × ...`
という空間を考えます。これは、各次元方向の辺の長さがそれぞれ 1, 1/2, 1/3, ... と無限に小さくなっていく、可算無限次元の「直方体」と見なすことができます。
位相的な性質に限れば、この空間は、単位閉区間 `[0, 1]` の可算無限個の直積、すなわち可算無限次元単位立方体
`[0, 1] × [0, 1] × [0, 1] × ...`
と同相です。つまり、これらの空間は位相的に区別できません。この同相写像は、ヒルベルト立方体の元である無限列 `{a_n}` （ただし `0 ≤ a_n ≤ 1/n`）に対して、対応する無限列 `{n a_n}` を返す写像によって与えられます。ここで得られる無限列の各要素は `0 ≤ n a_n ≤ 1` を満たしており、可算無限次元単位立方体の元となります。
ヒルベルト立方体を距離空間として考えることは、その性質をより深く理解する上で有用です。通常、ヒルベルト立方体は、可分ヒルベルト空間（可算無限な正規直交系を持つヒルベルト空間）の特別な部分集合として位置づけられます。この目的には、定義で述べた形、すなわち `[0, 1] × [0, 1/2] × [0, 1/3] × ...` という直積として捉えることが一般的です。
ヒルベルト立方体の元は、`0 ≤ x_n ≤ 1/n` を満たす実数の無限列 `{x_n}` です。このような無限列は、二乗和が有限となる数列全体のなす空間であるヒルベルト空間 `ℓ₂` の元となります。したがって、ヒルベルト立方体は `ℓ₂` の部分集合と見なすことができ、`ℓ₂` から誘導される距離（`d(x, y) = (Σ |x_n - y_n|²)^½`）を継承します。この `ℓ₂` の距離によって定められる位相と、定義で述べた直積位相は一致することが知られています。
ヒルベルト立方体は、いくつかの顕著な位相的性質を持っています。
コンパクト性: ヒルベルト立方体は、コンパクトハウスドルフ空間の可算無限個の直積であるため、位相空間論における重要な定理であるチコノフの定理により、それ自身がコンパクトハウスドルフ空間となります。コンパクト性は選択公理に頼らず、カントール空間からヒルベルト空間への連続写像を構成することによっても証明できます。
ℓ₂空間との関連: ヒルベルト空間 `ℓ₂` 自体は局所コンパクトではありません。つまり、`ℓ₂` 空間上の任意の点に対して、その点を内部に含むコンパクトな近傍は存在しません。一般に、`ℓ₂` のコンパクト部分集合は有限次元であると期待されるかもしれませんが、ヒルベルト立方体はこれに対する重要な反例を提供します。ただし、`ℓ₂` の距離に関して、ヒルベルト立方体は、その辺の長さが次元が高くなるにつれて小さくなっていくため、自身のいかなる点の開近傍も含むことができません。これは、例えば半径 `r` の開球を考えると、`r > 1/n` となるような次元 `n` において、開球がヒルベルト立方体の境界を超えてしまうためです。
距離化可能性と第二可算性: ヒルベルト立方体の任意の部分空間は、距離空間として扱えるため、距離化可能空間となります。距離化可能空間は正規空間であり、かつ第二可算空間（可算個の開基を持つ空間）であることが知られています。
埋め込み定理: さらに興味深いことに、この逆も成り立ちます。すなわち、任意の第二可算正規空間は、ヒルベルト立方体の位相的な部分空間（部分集合に相対位相を入れたもの）と同相であることが証明されています。この性質は、多くの「良い」位相空間がヒルベルト立方体の中に「埋め込める」ことを意味しており、ヒルベルト立方体が位相空間論における普遍的な役割を果たすことを示唆しています。
* ポーランド空間との関連: ヒルベルト立方体の任意の `Gδ`-集合（可算個の開集合の共通部分として表される集合）は、ポーランド空間となります。ポーランド空間とは、可分かつ完備距離化可能な空間のことです。逆に、任意のポーランド空間は、ヒルベルト立方体の `Gδ`-部分集合と同相であることが知られています。
これらの性質から、ヒルベルト立方体は、無限次元空間の研究や一般の位相空間論において、基本的な構成要素であり、他の多くの空間の性質を理解するための基準となる存在と言えます。
定義
ヒルベルト立方体は、可算無限個の閉区間 `[0, 1/n]` （ただし n は 1 から始まる正の整数全体を渡る）の直積として定義され、これに直積位相を入れたものです。具体的には、
`[0, 1] × [0, 1/2] × [0, 1/3] × [0, 1/4] × ...`
という空間を考えます。これは、各次元方向の辺の長さがそれぞれ 1, 1/2, 1/3, ... と無限に小さくなっていく、可算無限次元の「直方体」と見なすことができます。
位相的な性質に限れば、この空間は、単位閉区間 `[0, 1]` の可算無限個の直積、すなわち可算無限次元単位立方体
`[0, 1] × [0, 1] × [0, 1] × ...`
と同相です。つまり、これらの空間は位相的に区別できません。この同相写像は、ヒルベルト立方体の元である無限列 `{a_n}` （ただし `0 ≤ a_n ≤ 1/n`）に対して、対応する無限列 `{n a_n}` を返す写像によって与えられます。ここで得られる無限列の各要素は `0 ≤ n a_n ≤ 1` を満たしており、可算無限次元単位立方体の元となります。
距離空間としての側面
ヒルベルト立方体を距離空間として考えることは、その性質をより深く理解する上で有用です。通常、ヒルベルト立方体は、可分ヒルベルト空間（可算無限な正規直交系を持つヒルベルト空間）の特別な部分集合として位置づけられます。この目的には、定義で述べた形、すなわち `[0, 1] × [0, 1/2] × [0, 1/3] × ...` という直積として捉えることが一般的です。
ヒルベルト立方体の元は、`0 ≤ x_n ≤ 1/n` を満たす実数の無限列 `{x_n}` です。このような無限列は、二乗和が有限となる数列全体のなす空間であるヒルベルト空間 `ℓ₂` の元となります。したがって、ヒルベルト立方体は `ℓ₂` の部分集合と見なすことができ、`ℓ₂` から誘導される距離（`d(x, y) = (Σ |x_n - y_n|²)^½`）を継承します。この `ℓ₂` の距離によって定められる位相と、定義で述べた直積位相は一致することが知られています。
主な性質
ヒルベルト立方体は、いくつかの顕著な位相的性質を持っています。
コンパクト性: ヒルベルト立方体は、コンパクトハウスドルフ空間の可算無限個の直積であるため、位相空間論における重要な定理であるチコノフの定理により、それ自身がコンパクトハウスドルフ空間となります。コンパクト性は選択公理に頼らず、カントール空間からヒルベルト空間への連続写像を構成することによっても証明できます。
ℓ₂空間との関連: ヒルベルト空間 `ℓ₂` 自体は局所コンパクトではありません。つまり、`ℓ₂` 空間上の任意の点に対して、その点を内部に含むコンパクトな近傍は存在しません。一般に、`ℓ₂` のコンパクト部分集合は有限次元であると期待されるかもしれませんが、ヒルベルト立方体はこれに対する重要な反例を提供します。ただし、`ℓ₂` の距離に関して、ヒルベルト立方体は、その辺の長さが次元が高くなるにつれて小さくなっていくため、自身のいかなる点の開近傍も含むことができません。これは、例えば半径 `r` の開球を考えると、`r > 1/n` となるような次元 `n` において、開球がヒルベルト立方体の境界を超えてしまうためです。
距離化可能性と第二可算性: ヒルベルト立方体の任意の部分空間は、距離空間として扱えるため、距離化可能空間となります。距離化可能空間は正規空間であり、かつ第二可算空間（可算個の開基を持つ空間）であることが知られています。
埋め込み定理: さらに興味深いことに、この逆も成り立ちます。すなわち、任意の第二可算正規空間は、ヒルベルト立方体の位相的な部分空間（部分集合に相対位相を入れたもの）と同相であることが証明されています。この性質は、多くの「良い」位相空間がヒルベルト立方体の中に「埋め込める」ことを意味しており、ヒルベルト立方体が位相空間論における普遍的な役割を果たすことを示唆しています。
* ポーランド空間との関連: ヒルベルト立方体の任意の `Gδ`-集合（可算個の開集合の共通部分として表される集合）は、ポーランド空間となります。ポーランド空間とは、可分かつ完備距離化可能な空間のことです。逆に、任意のポーランド空間は、ヒルベルト立方体の `Gδ`-部分集合と同相であることが知られています。
これらの性質から、ヒルベルト立方体は、無限次元空間の研究や一般の位相空間論において、基本的な構成要素であり、他の多くの空間の性質を理解するための基準となる存在と言えます。
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