距離空間

距離空間とは

集合Xと、その上の任意の二点x, yに対し非負の実数d(x, y)を定める関数dの組(X, d)で、関数dが以下の性質を満たすものを距離空間と呼びます。

1. 非負性: d(x, y) ≥ 0
2. 非退化性: d(x, y) = 0 となるのは x = y のときに限り、 d(x,x) = 0
3. 対称性: d(x, y) = d(y, x)
4. 三角不等式: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) （任意のx, y, z ∈ Xに対して）

関数dは距離関数（または単に距離）と呼ばれます。

歴史的には、二点間の隔たりを測る尺度としての距離は、古くから数学や科学で重要な役割を担ってきました。特にユークリッド幾何学における距離の概念は基本的です。20世紀初頭、フランスの数学者モーリス・フレシェは、多様な数学的対象に現れる「近さ」や「連続性」といった概念を統一的に扱うため、ユークリッド空間から距離の本質的な性質を抽出し、抽象的な集合の上で定義される距離空間の理論を体系化しました。彼の1906年の論文は、この分野の基礎となりました。

距離関数の多様性と空間の定義

一つの集合Xに対して、複数の異なる距離関数dを定義することが可能です。例えば、平面R²上の二点間には、私たちが日常的になじみのあるユークリッド距離だけでなく、各座標軸方向の移動距離の合計であるマンハッタン距離などが定義できます。また、n次元実数空間Rⁿにおいても、これらの距離概念を一般化したもの（Lp距離など）や、各座標の差の絶対値の最大値で定義されるチェビシェフ距離なども考えられます。このように、同じ集合上にも多様な距離が存在するため、距離空間を議論する際には、単に集合Xだけでなく、そこにどのような距離dが与えられているかを明示し、組(X, d)として扱います。

距離空間の数学的意義と位相

距離が定義されることで、集合内の点同士の関係を定量的に把握できるようになります。これは、解析学における極限や連続性といった概念を厳密に定式化し、扱いやすくするために非常に有効です。フレシェは実際に、距離空間の枠組みを用いて関数の極限や連続性を研究しました。

また、距離空間は位相空間という、より一般的な空間概念の重要な例となっています。距離関数dを使えば、点xの「近く」にある点の集まりとしてε-近傍（点xから距離がεより小さい点の集合）を定義でき、この近傍の概念を通じて位相構造（開集合系、閉集合系など）を定めることができるからです。このように、距離から位相構造が自然に導かれるため、全ての距離空間は位相空間でもあります。

しかし、全ての位相空間が距離空間であるわけではありません。一般の位相空間では、距離がなくても近傍系などの概念を用いて位相を定義するため、距離空間で議論できる空間は位相空間全体のごく一部に限られます。それでもなお、距離空間は非常に重要な概念です。その理由は主に二つあります。一つは、距離という具体的な尺度があることで、位相空間論の抽象的な概念を直観的に理解しやすい点です。もう一つは、数学やその応用分野で現れる重要な空間の多くが、実際に距離空間として扱えるという点です。距離空間は、位相空間の中でも特に扱いやすい性質をいくつも持ち合わせています。例えば、任意の点が可算個の近傍からなる「近傍基」を持つという第一可算性や、異なる二点を互いに交わらない開集合で分離できるというハウスドルフ性などを常に満たします。また、距離空間におけるコンパクト性は、空間が全有界かつ完備であること（任意のコーシー列が収束する）と同値になるなど、特有の便利な性質があります。同じ集合上の異なる距離でも、ユークリッド距離とマンハッタン距離のように、同値な距離として同じ位相構造を誘導する場合もあります。

距離空間に関連する概念と構造

距離空間の定義を基盤として、様々な関連概念や、距離から導かれる他の構造が研究されています。

誘導距離空間: 距離空間の部分集合に、元の距離をそのまま引き継いで定義される距離空間。
超距離空間: より強い「超距離不等式」 d(x, z) ≤ max{d(x, y), d(y, z)} を満たす距離を持つ空間。
一様構造・粗構造: 距離空間は、距離の大小に応じた「近さの度合い」や「大局的な構造」を捉える、より抽象的な構造である一様構造や粗構造も自然に定めます。

多様な分野における距離構造

距離空間の概念は、数学の様々な分野や応用科学に広く応用されています。

組み合わせ論・情報理論: 文字列間の違いを数えるハミング距離は、誤り検出・訂正符号理論などで重要な役割を果たします。グラフの頂点間の最小経路長を表すグラフ距離もこの例です。
幾何学: 滑らかな空間であるリーマン多様体では、微小な長さの概念から曲線長を定義し、二点間の最短曲線（測地線）の長さとして距離を定めます。
代数学: p進距離は、整数論や代数的な構造と結びついた特殊な距離で、p進数の集合などに定義されます。
* 解析学: 関数空間などでは、関数の「大きさ」を測るノルムを用いて距離を定義します。完備なノルム空間であるバナッハ空間や、より一般的なフレシェ空間は、関数解析学の基本的な舞台です。また、特定の性質を持つ距離空間（可分距離空間）は、位相的に有名な空間であるヒルベルト立方体の部分空間と同一視できることが知られています。

このように、距離空間は、抽象的な集合に具体的な「距離」という構造を与えることで、解析、位相、幾何、代数、そして応用数学に至るまで、幅広い分野において対象を理解し、解析するための強力な基盤を提供しています。

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