ビュフォンの針

ビュフォンの針問題

ビュフォンの針（Buffon's needle problem）とは、18世紀の博物学者であるジョルジュ＝ルイ・ルクレール（コンテ・ド・ビュフォン）によって提起された興味深い数学問題です。この問題では、平行に引かれた多数の直線の上に針を落とした際、針と線が交差する確率を考察します。これを解明することによって、実は円周率の近似値を求める手法にまでつながります。

問題設定

この問題を具体的に数式で定義することから始めます。針の長さを `l`、平行線の間隔を `t` とすると、針を床に落として交差する確率は次のように表されます。針の中心から最近い方の線までの距離を `x` とし、針と線がなす角を `θ` とすると、以下の確率密度関数が成り立ちます。

• - 距離 `x` に関する確率密度関数:

$$
f_x(x) = \begin{cases} \frac{2}{t} & : 0 \leq x \leq \frac{t}{2} \\
0 & : \text{その他。} \end{cases}
$$

• - 角度 'θ' に関する確率密度関数:

$$
f_θ(θ) = \begin{cases} \frac{2}{\pi} & : 0 \leq θ \leq \frac{\pi}{2} \\
0 & : \text{その他。} \end{cases}
$$

ここで `x` と `θ` は独立した確率変数であるため、それらの同時確率密度関数は次のように表現できます。

$$
f_{x, θ}(x, θ) = \begin{cases} \frac{4}{t\pi} & : 0 \leq x \leq \frac{t}{2}, 0 \leq θ \leq \frac{\pi}{2} \\
0 & : \text{その他。} \end{cases}
$$

交差に関する条件

針と線が交差するための条件は次のとおりです。\[ x \leq \frac{l}{2} \sin(θ) \] きちんと針の長さに応じて場合分けを行います。

1. 短い針の場合 (`t ≥ l`)

この場合、針が短いため、交差確率は次のように計算されます。\[
P = \int_{θ=0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{x=0}^{(l/2) \sin(θ)} \frac{4}{t\pi} \, dx \, dθ = \frac{2l}{t\pi}.
\]
この式を使うことでシミュレーションにより円周率の近似値が求められます。試行回数を `n` とし、針の交差回数を `h` とした場合、\[
\frac{h}{n} \sim \frac{2l}{t\pi}.
\] これは実際に円周率が次のように近似されることを意味します。\[
π \sim \frac{2ln}{th}.
\]

2. 長い針の場合 (`t < l`)

針の長さが間隔よりも長い場合でも概率は異なります。\[
\int_{θ=0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{x=0}^{m(θ)} \frac{4}{t\pi} \, dx \, dθ,
\] ここで `m(θ)` は ` (l/2) \sin(θ)` と `t/2` の最小値です。このとき交差確率は複雑な形になりますが、依然として計算可能です。この条件下で計算した結果として旧来のモデルよりも高精度な近似を導き出すことができます。

ラザリニの実験

また、1901年にイタリアの数学者マリオ・ラザリニはビュフォンの針実験を通じて、3408回の針の試投を行い、円周率の近似として有名な値355/113を得ました。彼の実験は注目を集めましたが、針の長さの選択によって得られる確率と実際の値にバイアスがかかってしまったため、公平な実験とは言えない部分がありました。ラザリニは、実験において精密な条件を整えた結果、望んだ近似値を獲得することが可能でした。

シミュレーションの注意点

シミュレーションにおいては適切な確率論に基づいてランダム数を選ぶことが不可欠です。特に独立性を保つために、以下のように擬似コードを使用し、事前に円周率に依存しない値を求める技術が紹介されています。

```python
function simulation(l, t, n)
h = 0
for (iter = 0; iter < n; iter++)
x = Uniform(0, t/2)
repeat
dx = Uniform(0, 1)
dy = Uniform(0, 1)
radius = sqrt(dxdx + dydy)
until radius <= 1
if x <= (l/2) (dy/radius)
h = h + 1
return 2ln / (th)
```

この問題は、数学の深い理論だけでなく、シミュレーション技術にも関連しているため、難解であると同時に魅力的な研究対象となっています。

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