ピカール群

数学において、ピカール群（Picard group）は、ある種の空間が持つ重要な代数的な構造を表す概念です。特に、環付き空間と呼ばれる数学的な対象X上で定義される可逆層（あるいは直線束とも呼ばれます）の同型類、つまり「同じとみなせる」可逆層の集まり全体のなす群を指します。この群の演算は、可逆層のテンソル積という操作によって与えられます。

ピカール群は、数の理論で現れるイデアル類群や、代数幾何学における因子類群といった概念を、より一般的な枠組みへと拡張したものと見なすことができます。そのため、現代の代数幾何学や複素多様体の理論において、非常に基本的な役割を担っています。

ピカール群はまた、異なる視点から層コホモロジーを用いて定義することも可能です。具体的には、空間X上の正則関数でゼロにならないもの全体がなす層$\\mathcal{O}}_X^$に対する、一次のコホモロジー群$H^1(X, \\mathcal{O}}_X^)$と同型であることが知られています。この定義は、ピカール群の理論的な解析においてしばしば有用です。

整スキームと呼ばれる特定の性質を持つ空間に対しては、ピカール群はその空間上のカルティエ因子と呼ばれる図形的な対象の類群と一致することが証明されています。また、複素多様体の研究においては、指数層系列という強力な道具を用いることで、ピカール群の構造や性質に関する詳細な情報を引き出すことが可能です。

この群の名称は、19世紀後半から20世紀初頭にかけて活躍したフランスの数学者、エミール・ピカール（Émile Picard）に由来しています。特に、彼が代数曲線上で展開した因子の理論が、ピカール群の概念の源流の一つとされています。

例

いくつかの具体的な空間におけるピカール群の構造を見てみましょう。

デデキント整域のスペクトル（それ自体が環付き空間の一種です）上のピカール群は、そのデデキント整域のイデアル類群と同型になります。これは、ピカール群がイデアル類群の一般化であることを明確に示す例です。
体k上のn次元射影空間$P^n(k)$上の可逆層は、ねじり層\\mathcal{O}}(m)$と呼ばれる特別な形の層によって記述されます。したがって、$P^n(k)$のピカール群は整数全体のなす群Zと同型であることが知られています。
少し変わった例ですが、体k上の「2つの原点を持つアフィン直線」という特異点を持つ空間のピカール群も、Zと同型になります。

ピカールスキーム

ピカール群は群構造を持つだけでなく、さらにスキームとしての構造を持つ場合があり、これをピカールスキーム（Picard scheme）と呼びます。これは、ピカール群を多様体やスキームとして表現し直したものであり、代数幾何学、特にアーベル多様体の双対理論において非常に重要な役割を果たします。ピカールスキームの構成は、アレクサンドル・グロタンディークによって確立され、その後の研究の基礎となりました。

古典的な代数幾何学において特に重要なのは、標数が0である体上の非特異な完備多様体Vの場合です。このとき、ピカールスキームの単位元を含む連結成分はPic⁰(V)と表記され、これはアーベル多様体となることが知られています。Vが代数曲線である場合は、このPic⁰(V)がVのヤコビ多様体に他なりません。しかし、正標数においては事情が異なり、日本の数学者である井草準一は、被約でないPic⁰(S)を持つような滑らかな射影曲面Sの例を構成しました。これは、正標数ではPic⁰(V)が必ずしもアーベル多様体にならないことを示しています。

ネロン・セヴィリ群

完備多様体Vに対し、ピカール群Pic(V)をその単位元成分Pic⁰(V)で割った商群Pic(V)/Pic⁰(V)をネロン・セヴィリ群（Néron–Severi group）と呼び、NS(V)と表記します。この群は常に有限生成アーベル群となることが知られており、これはフランシス・セヴィリによる基底定理として知られています。ネロン・セヴィリ群の階数（ランク）は、Vのピカール数と呼ばれ、しばしばρ(V)と書かれます。

ピカール群、その単位元成分、そしてネロン・セヴィリ群の間には、次の完全系列という基本的な関係式が成り立っています。

$1 \\to \\mathrm{Pic}}^0(V) \\to \\mathrm{Pic}}(V) \\to \\mathrm{NS}}(V) \\to 0$

幾何学的には、ネロン・セヴィリ群NS(V)は、V上の因子の代数的同値類を記述しています。因子の分類において、より強い一次系による同値関係の代わりに、より弱い代数的同値を用いることで、分類が離散的な不変量となり扱いやすくなります。代数的同値は、因子の交叉数に基づいて定義される数値的同値とも密接に関連しています。

相対的ピカールスキーム

二つのスキーム間の射 f: X → S が与えられたとき、これに付随して定義されるのが相対的ピカール函手（あるいはスキーム）Pic$_{X/S}$です。これは、任意のS-スキームTに対し、空間$X_T$上のピカール群Pic($X_T$)を、$f_T$による引き戻し像$f_T^$Pic(T)で割った群Pic($X_T$)/$f_T^$Pic(T)として定義されます。

空間X/S上の可逆層Lが、S上の任意の幾何学的生成点sへの引き戻し$s^L$がファイバー空間$X_s$上で常に次数rである場合、Lは次数rであると言います。この相対的な概念は、族として与えられた多様体のピカール群の振る舞いを研究する際に重要となります。

ピカール群とその関連概念は、代数多様体やスキームといった空間の「ねじれ」や「分類」といった幾何学的性質を理解するための強力な道具として、現代数学において広く活用されています。

もう一度検索