アーベル多様体

アーベル多様体とは

数学、特に代数幾何学、複素解析、数論において、アーベル多様体は、正則関数によって定義される群法則を持つ射影代数多様体です。アーベル多様体は、代数幾何学の中心的な研究対象であり、数論など他の分野でも重要な役割を果たしています。

アーベル多様体の定義と種類

アーベル多様体は、任意の体上の代数方程式によって定義できます。特に、複素数体上で定義されたアーベル多様体は、複素射影空間に埋め込むことができる複素トーラスとして知られています。代数体上で定義されたアーベル多様体は、数論的に重要な意味を持ちます。また、数体上のアーベル多様体から、有限体や局所体上のアーベル多様体を導くことも可能です。

アーベル多様体は、代数多様体のヤコビ多様体として自然に現れます。アーベル多様体の群法則は可換であり、多様体は非特異です。1次元のアーベル多様体は楕円曲線と呼ばれ、アーベル多様体は小平次元が0であるという特徴を持ちます。

歴史と動機

19世紀初頭、楕円関数の理論が楕円積分の理論を基礎づけました。楕円積分の標準形は、3次または4次多項式の平方根で表されます。これを高次の多項式に置き換えたとき、例えば5次多項式にした場合に何が起こるのかという疑問から、アーベル多様体の研究が始まりました。

ニールス・アーベルとカール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビの研究により、この問題に対する答えが導き出されました。それは、4つの独立な周期を持つ2変数複素関数として定式化され、次元2のアーベル多様体（アーベル曲面）の最初の例となりました。これは、種数2の超楕円曲線のヤコビ多様体とも呼ばれます。

アーベルとヤコビ以降、ベルンハルト・リーマン、カール・ワイエルシュトラス、フェルディナント・ゲオルク・フロベニウス、アンリ・ポアンカレ、エミール・ピカールらがアーベル関数の理論に貢献しました。19世紀末には、幾何学的な手法がアーベル関数の研究に用いられるようになり、1920年代にはソロモン・レフシェッツが複素トーラスを用いてアーベル関数の研究を基礎づけました。レフシェッツは「アーベル多様体」という名称を初めて使用しました。1940年代には、アンドレ・ヴェイユが代数幾何学の言葉で現代的な基礎を与えました。

今日、アーベル多様体は、数論、力学系、代数幾何学（特にピカール多様体やアルバネーゼ多様体）において重要なツールとなっています。

解析的理論

次元gの複素トーラスは、実次元2gのトーラスであり、ランク2gの格子によるg次元複素ベクトル空間の商空間として得られます。次元gの複素アーベル多様体は、複素数体上の射影代数多様体である次元gの複素トーラスであり、群構造を持ちます。アーベル多様体の射は、群構造の単位元を保つ写像であり、同種写像と呼ばれます。これは有限個対1の対応です。

複素トーラスが代数多様体の構造を持つ場合、その構造は一意です。g=1の場合、アーベル多様体は楕円曲線と同じであり、任意の複素トーラスはそのような曲線となります。g>1の場合、リーマンによって、代数多様体となる条件が複素トーラスに追加の条件を課すことが知られています。

リーマンの条件

リーマンの判定法は、与えられた複素トーラスが代数多様体であるかどうかを決定します。トーラスX = V/L (Vは次元gの複素ベクトル空間、LはVの格子) がアーベル多様体であるための必要十分条件は、V上の正定値二次形式のエルミート形式で、その虚部がL×L上で整数となるものが存在することです。このような形式は、非退化リーマン形式と呼ばれます。

代数曲線のヤコビ多様体

種数g≥1の代数曲線Cは、次元gのアーベル多様体Jと、CからJへの解析的写像によって関係付けられます。Jは可換な群構造を持ち、Cの像はJを生成します。Jの任意の点は、Cのg個の点からなる組によって被覆されます。C上の微分形式の研究は、J上の微分形式の理論から導き出すことができます。アーベル多様体Jは、複素数体上の任意の非特異曲線Cのヤコビ多様体と呼ばれます。

アーベル函数

アーベル函数は、アーベル多様体上の有理型函数であり、独立な2n個の周期を持ち、n個の複素変数の周期函数とみなすことができます。これは、アーベル多様体の函数体上の函数と同じことです。例えば、超楕円積分は、楕円積分の言葉で表現されることに大きな関心が集まりました。

代数的定義

一般の体k上のアーベル多様体は、以下の2つの同値な定義を持ちます。

k上の連結な完備な代数群
k上の連結な射影的な代数群

基礎体が複素数体のとき、これらの定義は前述の定義と一致します。すべての基礎体上で、楕円曲線は次元1のアーベル多様体です。

1940年代にヴェイユは、最初の定義であるkが完備であることを使用しましたが、kが射影的であることを証明できませんでした。しかし、1948年に彼は、完備代数群は射影空間に埋め込むことができることを証明しました。彼はまた、有限体上の代数曲線のリーマン予想を証明するために、抽象代数多様体の考え方を導入し、射影埋め込みなしで多様体を扱う代数幾何学の基礎を書き換えました。

点の群構造

定義より、アーベル多様体は群多様体であり、点の群は可換であることが証明できます。レフシェッツの原理により、標数がゼロのすべての代数的閉体上の次元gのアーベル多様体の捩れ群は、(Q/Z)^2gと同型となります。アーベル多様体のn-トーション部分は(Z/nZ)^2g、すなわち、位数がnの巡回群の2g個の積に同型となります。

基礎体が標数pの代数的閉体のとき、nとpが互いに素ならば、n-トーションは(Z/nZ)^2gに同型です。nとpが互いに素でないときは、n-トーションがランク2gの有限で平坦な群スキームを定義することと同じと解釈できます。標数pの多様体の新しい不変量を得るためには、n-トーションの上の全スキーム構造を見ることに代わりに、幾何学的な点のみを考えればよいでしょう。

大域体kのk-有理点は、モーデル・ヴェイユの定理により有限生成です。したがって、有限生成アーベル群の構造定理により、自由アーベル群Z^rと、に対しアーベル多様体のランクと呼ばれるある非負な整数rが存在して、r個の有限な可換群との積となります。同様な結果がkの他のクラスに対しても成立します。

積

同じ体上の次元mのアーベル多様体Aと次数nのアーベル多様体Bの積は、次元m+nのアーベル多様体です。より低い次元のアーベル多様体の積とはならないアーベル多様体に同種なアーベル多様体を単純であるといいます。すべてのアーベル多様体は単純アーベル多様体の積に同種です。

偏極と双対アーベル多様体

体k上のアーベル多様体Aへ、双対アーベル多様体Avを対応させることができます。双対アーベル多様体は、モジュライ問題の解を与えます。k-多様体Tによりパラメトライズされた次数0の直線束の族は、A×T上の直線束をLとして定義されます。

双対アーベル多様体とAの間には自然な同型が存在します。アーベル多様体のn-トーションとその双対のn-トーションは、基底となる体の標数が素のときには、互いにポアンカレ双対です。一般に、すべてのnに対し、双対アーベル多様体のn-トーション群スキームは、互いにカルティエ双対です。これは楕円曲線のヴェイユペアリングを一般化したものです。

アーベル多様体の偏極とは、アーベル多様体からその双対への同種写像であって、アーベル多様体の二重双対について対称であり、付随するグラフ射に沿ったポアンカレバンドルの引き戻しが豊富であるという性質を持つものをいいます。偏極アーベル多様体は有限個の自己同型群を持ちます。主偏極とは同型の偏極をいいます。

複素数体上では、アーベル多様体Aとともにリーマン形式Hを選んで考えます。2つのリーマン形式H1とH2が同値とは、ある正の整数nとmが存在して、nH1=mH2となるときをいいます。Aの上のリーマン形式の同値類の選択をAの偏極といいます。偏極アーベル多様体の射とは、アーベル多様体の射A→Bであり、BからAへのリーマン形式の引き戻しがA上の与えられたものと同値の場合をいいます。

アーベルスキーム

スキーム理論的観点から、アーベル多様体の定義を定義することができます。相対次元gの基礎となるスキームSの上のアーベルスキームは、S上の固有で滑らかな群スキームで、その幾何学的ファイバーは連結で次元gです。アーベルスキームのファイバーはアーベル多様体であるから、Sによりパラメトライイズされた族としてS上のアーベルスキームを考えることができます。

準アーベル多様体

準アーベル多様体とは、代数的トーラスによりアーベル多様体の拡張である可換群多様体をいいます。

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