ピッチフォーク分岐

ピッチフォーク分岐

ピッチフォーク分岐とは、力学系が外部パラメータの変化に応じてその安定状態（平衡点など）の数や性質を急激に変化させる現象である「分岐」の一つです。この名称は、分岐が発生する際に描かれる系の状態変化を表す図（分岐図）が、農具のピッチフォーク、すなわち熊手のように三又に分かれる形状を示すことに由来します。日本語では、その見た目から熊手型分岐とも呼ばれます。

このタイプの分岐は、系の対称性がパラメータの変化によって破れ、一つの安定な状態から複数の異なる安定な状態が同時に出現するような現象を記述する上で非常に重要です。物理学における相転移や、生物学、工学におけるパターン形成など、多くの自然現象や人工システムの挙動を理解するための基礎概念となっています。

ピッチフォーク分岐は、その詳細な振る舞いの違いから、主に二つの異なるカテゴリーに分類されます。それが「超臨界ピッチフォーク分岐（supercritical pitchfork bifurcation）」と「亜臨界ピッチフォーク分岐（subcritical pitchfork bifurcation）」です。これら二つのタイプは、パラメータが分岐点となる臨界値に近づいたりそれを超えたりした際の、安定な平衡点の出現や消滅の仕方が異なります。

超臨界ピッチフォーク分岐

超臨界ピッチフォーク分岐は、「フォワード分岐」と呼ばれることもあります。この分岐の際、パラメータが特定の臨界値（通常はゼロ）を下回っている間は、系には安定な平衡点が一つだけ存在します。パラメータが臨界値に到達すると、その平衡点の安定性は維持されるものの、系が平衡点に落ち着く際のダイナミクスが質的に変化します。そして、パラメータが臨界値を超えると、元々安定だった平衡点は不安定化し、その位置から枝分かれするように、左右に対称的な二つの新たな安定な平衡点が出現します。

この現象を記述する最も単純な1次元常微分方程式のモデル（標準形）は、パラメータを r、系の状態変数を x とすると、概ね `dx/dt = rx - x^3` のような形で表されます。この式において、rが負のときにはx=0のみが安定な平衡点ですが、rが正になるとx=0は不安定になり、代わりに x = ±√r の位置に二つの安定な平衡点が生まれるのです。超臨界分岐では、パラメータの変化に対して安定な平衡点が比較的滑らかに出現・変化するのが特徴です。

亜臨界ピッチフォーク分岐

一方、亜臨界ピッチフォーク分岐は、「逆分岐」や「バックワード分岐」とも呼ばれます。このタイプの分岐は、超臨界分岐とは異なり、パラメータの臨界値近傍での系の振る舞いがより複雑で、時には急激な変化を伴うことがあります。

亜臨界ピッチフォーク分岐の1次元常微分方程式の標準形は、例えば `dx/dt = rx + x^3 - x^5` のような形で記述されることがあります。この場合、パラメータ r が増加していくと、ある値で不安定な平衡点が現れ、既存の安定平衡点に近づいていきます。そして、パラメータが臨界値に達するかそれをわずかに超えた瞬間に、安定だった平衡点が突然不安定化し、系が大きく離れた別の状態へ遷移したり、安定な状態が一時的に失われたりする可能性があります。

また、亜臨界分岐では、一度分岐が起こって状態が変化した後、パラメータを逆方向に（臨界値から遠ざかるように）戻しても、すぐに元の安定状態には戻らない「履歴現象」（ヒステリシス）を示すことも少なくありません。これは、不安定な平衡点が存在することで、元の安定状態への復帰が妨げられることがあるためです。安定状態の急激な喪失（カタストロフィ）を伴う可能性がある点が、超臨界分岐との大きな違いと言えます。

超臨界分岐と亜臨界分岐の比較

超臨界ピッチフォーク分岐と亜臨界ピッチフォーク分岐の根本的な違いは、分岐点での安定な平衡点の出現・消滅の仕方にあります。超臨界分岐では、安定な平衡点がパラメータ変化に対して滑らかに、そして連続的に枝分かれして生まれます。これに対し、亜臨界分岐では、安定平衡点が不安定平衡点と合体して消滅するなど、より不連続かつ急激な過程を経て安定性が失われたり、履歴現象を伴ったりすることが特徴です。

これらのピッチフォーク分岐は、物理的な系がどのように安定性を失い、新たな安定構造を獲得するのかという基本的なメカニズムを理解する上で、力学系理論において非常に重要な役割を果たしています。特に、対称性が破れる現象のモデル化において頻繁に現れる分岐タイプです。

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