平衡点

平衡点 (Equilibrium Point)

微分方程式、特に常微分方程式における平衡点とは、独立変数、しばしば時間と呼ばれるものに依存せず、常に一定の値を保つ特別な解を指します。この平衡点は、文脈によって不動点、定常解、静止点、臨界点など、様々な名称で呼ばれることがあります。

定義と意義

自励系の常微分方程式 dy/dt = f(y)（ここで t は独立変数、y は従属変数、f は関数）を考えたとき、f(ye) = 0 を満たす点 ye がこの微分方程式の平衡点です。

力学系の観点からは、平衡点は相空間と呼ばれる状態空間上で、時間が経過してもその位置が変わらない点を意味します。微分方程式の解は相空間上の軌跡（解軌道）を描きますが、平衡点自身もまた、時間によらず一点に留まる特別な解軌道と言えます。

平衡点は、微分方程式の解の定性的な振る舞いを理解する上で極めて重要な概念です。特に、解析的に厳密な解を求めることが難しい非線形微分方程式の場合でも、平衡点を計算することは比較的容易であり、解の大まかな性質を知るための最初の手がかりとなります。相空間全体での大域的な性質を調べる際も、平衡点近傍の局所的な性質の解析が基礎となります。

平衡点の計算

平衡点 ye は、定義式 f(ye) = 0 を満たす点として計算できます。これは通常、従属変数 ye に関する連立代数方程式を解くことに相当します。

例えば、2次元の常微分方程式系


dx/dt = x(2 - x - y)
dy/dt = x - y


の平衡点を求めるには、右辺をゼロとした連立方程式


x(2 - x - y) = 0
x - y = 0


を解きます。これにより、(x, y) = (1, 1) と (x, y) = (0, 0) の2点がこの系の平衡点であることが分かります。

非線形系の代表例であるローレンツ方程式のような複雑な系でも、同様に右辺をゼロとする連立方程式を解くことで平衡点を見つけることができます。この場合、パラメータの値によって平衡点の数や位置が変化します。

平衡点の安定性

平衡点の周りで解軌道がどのように振る舞うか、すなわち「安定性」は、微分方程式の性質を理解する上で最も基本的な問題の一つです。安定性にはいくつかの種類があります。

リアプノフ安定: 平衡点の十分近くから出発した解軌道が、全ての将来の時刻においても平衡点の近くに留まり続ける性質です。
吸引的: 平衡点の近くから出発した解軌道が、時間が経過するにつれてその平衡点に限りなく近づいていく性質です。
漸近安定: リアプノフ安定であり、かつ吸引的である性質です。しばしば単に「安定」と呼ばれることもあります。
中立安定: リアプノフ安定ではあるが、吸引的ではない性質です。
不安定: リアプノフ安定ではない性質です。平衡点から出発した解軌道は、わずかにずれると平衡点から離れていきます。
反発的（源点）: 吸引的とは逆に、平衡点近くから出発した解軌道が時間が経過するにつれて平衡点から遠ざかっていく性質です。
吸引的（沈点）: 吸引的な平衡点は沈点とも呼ばれます。

線形系とポアンカレの分類

係数が定数の線形常微分方程式系 dy/dt = Ay の場合、原点 y=0 は常に平衡点です。この平衡点の安定性は、係数行列 A の固有値の実部の符号によって完全に判別できます。

全ての固有値の実部が負ならば、平衡点は漸近安定です。
少なくとも一つでも固有値の実部が正ならば、平衡点は不安定です。
全ての固有値の実部が負またはゼロ（純虚数）ならば、平衡点は中立安定です。

特に2次元の線形系については、平衡点近傍の解軌道のパターンに基づいてポアンカレが分類を行いました。係数行列 A の固有値の性質に応じて、平衡点は主に以下のタイプに分けられます。

結節点 (Node): 固有値が同符号の実数。解軌道は平衡点に回転せずに単調に近づくか離れるかします。固有値が負なら安定結節点（沈点）、正なら不安定結節点（源点）です。
鞍状点 (Saddle): 固有値が異符号の実数。近づく方向と離れる方向が共存する不安定な平衡点です。
渦状点 (Spiral/Focus): 固有値が実部非零の共役複素数。解軌道は平衡点に螺旋状に近づくか離れるかします。固有値の実部が負なら安定渦状点（沈点）、正なら不安定渦状点（源点）です。
渦心点 (Center): 固有値が純虚数の共役複素数。解軌道は平衡点を中心とする閉曲線（円など）となります。中立安定な平衡点です。

非線形系の安定性判別

非線形系の平衡点に対する安定性判別には、平衡点周りでの線形化が有効な手法の一つです。平衡点 ye の近傍で非線形関数 f(y) をテーラー展開し、線形項のみを取ることで、線形近似された微分方程式が得られます。この線形近似系の係数行列は、平衡点における f のヤコビ行列 Df(ye) です。

平衡点 ye が双曲型平衡点である（Df(ye) の固有値の実部が全てゼロではない）場合、ハートマン・グロブマンの定理により、線形近似系の平衡点周りの挙動と元の非線形系の平衡点周りの挙動は質的に同じになります。したがって、双曲型平衡点であれば、ヤコビ行列の固有値の実部の符号に基づいて安定性を正確に判別できます。具体的には、全ての固有値の実部が負なら漸近安定、少なくとも一つ実部が正なら不安定です。

一方、ヤコビ行列の固有値の実部にゼロが含まれる非双曲型平衡点の場合、線形近似だけでは安定性を判別できないことが多く、中心多様体理論などのより高度な解析が必要となります。

線形化とは別に、リアプノフ関数を用いる方法もあります。適切な条件を満たす関数 L(y) が見つかれば、その関数の振る舞いから平衡点の安定性を判断できますが、そのような関数を見つける一般的な手法はありません。

写像における不動点

離散的な時間発展を記述する写像 f(x) に対しても、「平衡点」に類似した概念があります。写像の場合、f(xe) = xe を満たす点 xe は不動点（または固定点）と呼ばれます。不動点では、写像を繰り返し適用しても点の位置は変化しません。微分方程式の平衡点と同様に、写像の不動点も離散力学系の解析において中心的な役割を果たします。微分方程式では「平衡点」、写像では「不動点」と区別することもありますが、両者をまとめて「不動点」や「固定点」、「平衡点」と呼ぶこともあります。

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