ファインマン・ポイント

ファインマン・ポイントとは

ファインマン・ポイントとは、数学定数である円周率（π）を十進法で無限小数として表記した際に現れる、特定の数字の並びを指します。具体的には、小数点以下第762桁目から始まる6個の数字がすべて「9」である連続部分（...999999...）を指してこの名称が用いられます。

名称の由来と真偽

このユニークな名称は、著名な物理学者であるリチャード・ファインマンに由来するとされています。伝えられるところによれば、ファインマンは円周率の数字を小数点以下762桁目まで暗記し、その最後に現れる6個の「9」を諳んじた後、「9, 9, 9, 9, 9, 9 以下続く (and so on.)」とジョークめかして締めくくりたいと、自身の講義の中で語ったとされています。このエピソードが広まり、当該の数字の並びが「ファインマン・ポイント」と呼ばれるようになりました。

しかしながら、ファインマン自身がこの発言をいつ、どこで行ったのか、あるいは本当にそのような発言をしたのかどうかは、実は明確ではありません。彼の公開された伝記や自伝の中でこのエピソードに言及されているものはなく、彼の伝記を執筆したジェームス・グリーク氏も、この話を知らないと述べています。

「9, 9, 9, 9, 9, 9 and so on.」というフレーズが活字として最初に確認できるのは、ダグラス・ホフスタッターの1985年の著書『メタマジック・ゲーム』(Metamagical Themas)です。ホフスタッターはこの本の中で、彼自身がかつて円周率の数字を暗記することに熱中していた経験を語り、小数点以下380桁まで覚えたことに触れています。そして、彼自身の果たされなかった野望として、「10進法で「999999」が現れる762桁まで辿り着き、声に出して暗誦し、6つの9が出てきたところで「以下続く！」と言えるようになりたかった」と記しています。このことから、ファインマンのエピソードは、ホフスタッターが自身の体験や伝聞をもとに紹介した可能性も考えられますが、その正確な起源は依然として謎に包まれています。

数字の並びに関する統計

円周率の十進展開における数字の並びは、あたかも完全にランダムであるかのように見えます。数学的には、円周率が正規数（どのような有限の数字列も同じ漸近的な頻度で出現する数）であると予想されていますが、これはまだ証明されていません。しかし、もし円周率が正規数に近い性質を持つならば、その数字の並びは統計的にランダムな数列と類似した特徴を示すと考えられます。

全くランダムな数字の並びにおいて、ファインマン・ポイントのような特定の6個の数字が連続する並びが、比較的早い段階（小数点以下数百桁）で出現する確率は約0.08%と計算されます。これは非常に低い確率であり、ファインマン・ポイントが単なる偶然としてはやや珍しい現象であることを示唆しています。

ファインマン・ポイント以降の桁でも、同じ数字が6個連続する並びは出現します。例えば、「9」の6連続は、ファインマン・ポイントの次に小数点以下193,034桁目から現れます。「8」の6連続は222,299桁目から、「0」の6連続は1,699,927桁目から始まるなど、数字によってその出現位置は大きく異なります。「0」の6連続は、他の数字と比較してかなり遅い桁での出現となっています。

また、ファインマン・ポイントである762桁目の「9」の連続は、興味深いことに、同じ数字が4個連続する並びとしても、また5個連続する並びとしても、円周率の十進展開において最初に現れる箇所でもあります。

小数点以下において、「9」が連続して現れる最初の桁を、その連続する個数ごとに見ると以下のようになります。

| 連続する「9」の個数 | 最初の出現桁（小数点以下） |
| :----- | :----- |
| 1個 | 5桁目 |
| 2個 | 44桁目 |
| 3個 | 762桁目 |
| 4個 | 762桁目 |
| 5個 | 762桁目 |
| 6個 | 762桁目 |
| 7個 | 1,722,776桁目 |
| 8個 | 36,356,642桁目 |
| 9個 | 564,665,206桁目 |

このように、762桁目は3個、4個、5個、6個の「9」が連続する並びとして、最初に現れる特異な位置であることがわかります。

タウ（τ）との比較

円周率（π）は直径に対する円周の比ですが、半径に対する円周の比を2π = τ（タウ）として定義する立場もあります。τの十進表記でも、興味深い数字の並びが見られます。例えば、7個の「9」が連続する並びは、τの小数点以下761桁目から始まります。これは円周率におけるファインマン・ポイントの直前の桁から始まり、さらに7個の「9」が連続するという点で、円周率のファインマン・ポイントと位置が非常に近い、興味深い一致を示しています。

一方、円周率において、同じ数字が7個連続して現れる最初の並びは、「3」の連続であり、その始まりは小数点以下710,100桁目です。

円周率のファインマン・ポイント付近

円周率の十進表記で、ファインマン・ポイントを含む部分は以下のようになります。

...589793243987816465585957635676695451660042608679879814808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196442881097566593344612847564823378678316527120190914564856692346034861045432664821339360726024914127372458700660631558817488152092096282925409171536436789259036001133053054882046652138414695194151160943305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912983367336244065664308602139494639522473719070217986094370277053921717629317675238467481846766940513200056812714526356082778577134275778960917363717872146844090122495343014654958537105079227968925892354201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999...

（上記は小数点以下1桁目から772桁目までの一部分を表示しており、762桁目からの6個の「9」が確認できます。）

関連情報

関連書籍
ダニエル・タメット著、古屋美登里訳『ぼくには数字が風景に見える』講談社、2007年。
ダグラス・ホフスタッター著、竹内郁雄他訳『メタマジック・ゲーム: 科学と芸術のジグソーパズル』白揚社、2005年。
関連項目
循環小数
0.999...
* シュリニヴァーサ・ラマヌジャン

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