ファレイ数列

ファレイ数列とは

ファレイ数列（フェアリー数列とも）は、数学、特に初等整数論において現れる興味深い数列です。自然数 n に対して定められる「次数 n のファレイ数列 F_n」は、分母が n 以下である既約分数の中で、0 以上 1 以下のものを全て集め、それらを値の小さい順に並べて構成されます。整数 0 と 1 は、それぞれ 0/1 および 1/1 という分数表現で数列に含められます。定義によっては 0 や 1 を含まない場合もありますが、通常は含めるものとされます。英語ではしばしば Farey series とも呼ばれますが、数学的な厳密さからは sequence（数列）と呼ぶのが適切です。

具体例

次数 n が小さい場合のファレイ数列は以下のようになります。

• - F1 = (0/1, 1/1)
• - F2 = (0/1, 1/2, 1/1)
• - F3 = (0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1)
• - F4 = (0/1, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1/1)
• - F5 = (0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1)
• - F6 = (0/1, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 1/1)
• - F7 = (0/1, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 1/1)
• - F8 = (0/1, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 1/1)

主な性質

ファレイ数列は様々な興味深い性質を持っています。

隣接する分数と中間数

あるファレイ数列 F_n において隣接する二つの分数 a/b と c/d (a/b < c/d) を考えます。これらの分数の間に新たな既約分数が現れるのは、次数が b+d 以上のファレイ数列においてです。この新たに現れる分数は 中間数 (mediant) と呼ばれ、(a+c)/(b+d) で計算されます。例えば、F5 の 1/3 と 2/5 の間に初めて現れる分数は、F8 に含まれる中間数 (1+2)/(3+5) = 3/8 です。

また、ファレイ数列で隣り合う分数 a/b と c/d (a/b < c/d) の間には、常に bc - ad = 1 という関係が成り立ちます。この等式は、二つの分数の差が 1/(bd) に等しいことを示しています。逆に、0 ≤ a/b < c/d ≤ 1 である既約分数 a/b と c/d の間に bc - ad = 1 が成り立つならば、これら二つの分数は max{b, d} に対応するファレイ数列において隣接します。

ファレイ数列や、中間数を繰り返し用いて既約分数を生成する過程は、シュターン＝ブロコ木 (Stern–Brocot tree) と密接に関連しています。

連分数展開

ファレイ数列における隣接関係は、連分数展開とも関わりがあります。既約分数 p/q を、末尾が 1 となるように連分数展開 [0; a1, a2, ..., an, 1] の形に表せるとします。もし p/q が次数 q のファレイ数列 F_q において初めて現れる分数であるならば、F_q で p/q に隣接する二つの分数のうち、p/q により近い方（分母が大きい方）は [0; a1, a2, ..., an] という連分数展開を持ち、もう一方の隣接する分数は [0; a1, a2, ..., an-1] という連分数展開を持ちます。

フォードの円

ファレイ数列は、幾何学的な概念であるフォードの円 (Ford circle) とも関係があります。既約分数 p/q に対応するフォードの円 C[p/q] は、中心座標が (p/q, 1/(2q^2)) で、半径が 1/(2q^2) の円です。興味深いことに、異なる二つの分数に対応するフォードの円は、決して交わることがなく、互いに接するか離れているかのどちらかです。特に、0 < p/q < 1 である場合、C[p/q] に接する他のフォードの円は、まさにファレイ数列において p/q に隣接する分数のフォードの円に対応するのです。

数列の長さ

次数 n のファレイ数列 F_n の項数（長さ）は、オイラーのトーティエント関数 φ を用いて、|F_n| = 1 + Σ_{m=1}^{n} φ(m) と表すことができます。この長さは、n が大きくなるにつれて漸近的に |F_n| ~ 3n^2/π^2 のように増加することが知られています。

長さに関するこの性質は、|F_n| が |F_{n-1}| に、分母が n で n 未満の分子と互いに素な既約分数の個数 φ(n) を加えたものである、という関係 |F_n| = |F_{n-1}| + φ(n) (n > 1) と、初項 |F1| = 2 から導かれます。

非線形現象への関連

意外なことに、ファレイ数列やシュターン＝ブロコ木のような分数の構造が、非線形力学系、例えば互いに影響し合う二つの振動子の振る舞いに現れることがあります。異なる固有振動数を持つ振動子が非線形結合すると、特定の有理数比で振動数が一致する「引き込み現象」が起こり得ます。一方のパラメータを変化させていくと、引き込みが起きる有理数比が現れる順序と領域の相対的な幅が、理想的な状況下ではシュターン＝ブロコ木の構造と対応することがあります。

歴史

ファレイ数列という名前は、イギリスの地質学者ジョン・フェアリーに由来します。彼は1816年にこの数列に関する考察を発表しましたが、その性質（隣接項の中間数性など）の証明は与えませんでした。数学者コーシーがフェアリーの論文を読み、その著作中で証明を与え、この結果をフェアリーに帰しました。しかし、実際にはこれに類似する結果は、1802年にフランスの数学者シャルル・アロによって既に発表されていました。したがって、この数列がフェアリーの名前で呼ばれているのは、数学史における偶然の一つと言えます。

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