フォードの円

定義

数学において、フォードの円とは、既約分数 `p/q` に対応する円のことを指します。ここで、`p` と `q` は互いに素な整数であり、通常 `q > 0` とします。この円は、中心が `(p/q, 1/(2q²))`、そして半径が `1/(2q²)` と定義されます。この定義から明らかなように、すべてのフォードの円は水平軸、すなわち直線 `y = 0` に接しています。

歴史

フォードの円が示すような、互いに接し合う円の体系は、古くから数学者の関心を集めてきました。古代ギリシャの数学者ペルガのアポロニウスが研究したアポロニウスの問題や、17世紀にルネ・デカルトが発見した、互いに接する円の半径に関するデカルトの定理などがその背景にあります。

また、フォードの円と同様の図形が、日本の伝統数学である和算の算額にも登場しています。特に有名なのは、1824年に群馬県で奉納された算額に記された問題です。この問題は、共通の接線を持ち、互いに外接する3つの円に関するもので、与えられた2つの外接円とその共通外接線に内接する小円の大きさを問うものでした。この問題の解答となる小円の半径は、フォードの円の半径の性質と一致することが知られています。具体的には、外接する3つの円の半径を `r_left`, `r_right`, `r_middle` とすると、`1/√r_middle = 1/√r_left + 1/√r_right` という関係が成り立ちます。

「フォードの円」という名称は、1938年にこれらの円の体系について詳しく論じたアメリカの数学者、レスター・フォードにちなんで名付けられました。

性質

任意の既約分数 `p/q` に対して、対応するフォードの円 `C[p/q]` または `C[p,q]` が存在します。興味深い性質として、直線 `y = 1` もまた、分数 `0/1` に対応する半径無限大のフォードの円の一つと見なすことができます。

異なる二つのフォードの円は、互いに交わることはなく、外接しているか、あるいは全く共有点を持たないかのいずれかです。各フォードの円 `C[p/q]` は、x軸上の有理数点 `(p/q, 0)` においてx軸に接しています。

円 `C[p/q]` に外接する他のフォードの円 `C[r/s]` は、特定の関係を満たす分数 `r/s` に対応するものです。具体的には、`|ps - qr| = 1` を満たす既約分数 `r/s` に対応する円が `C[p/q]` に外接します。この条件は、ファレイ数列において `p/q` の隣に位置する分数 `r/s` に対応する円であること、あるいは、Stern-Brocot treeにおいて `p/q` と `r/s` が親子関係にあることと同等です。

フォードの円は、単に実数平面上の円としてだけでなく、複素平面上の曲線として捉えることも可能です。複素平面の変換を行うモジュラー群の作用の下で、フォードの円は別のフォードの円へと写されます。

さらに、複素平面の上半平面を双曲幾何学のモデル（ポワンカレの上半平面モデル）として解釈すると、フォードの円は双曲空間におけるホロサイクル（英語版）による美しいタイリング（敷き詰め）を構成します。双曲幾何学の観点からは、すべてのフォードの円は合同であると見なされます。

互いに外接する二つのフォードの円 `C[p/q]` と `C[r/s]` があるとき、それぞれの円がx軸と接する点 `(p/q, 0)` と `(r/s, 0)` を結び、円の接点を通るx軸に垂直な半円は、双曲平面における直線（測地線）に対応しています。

フォードの円全体の集合は、直線 `y = 0`, 直線 `y = 1`, そして円 `C[0/1]` から生成されるアポロニウスのギャスケット（アポロニウスのパッキンとも呼ばれる）の部分集合を構成します。

総面積

区間 `(0, 1]` に対応するすべてのフォードの円（円板）の総面積は、興味深い数学的な値に収束します。これらの円は互いに重なり合わないため、総面積を単純に合計することができます。

0 < p/q <= 1 の範囲にあるフォードの円の総面積 `A` は、各円 `C[p/q]` の面積 `π (1/(2q²))²` をすべての該当する既約分数 `p/q` について合計することで求められます。

`A = Σ_{q≥1} Σ_{1≤p≤q, (p,q)=1} π (1/(2q²))²`

この式は次のように整理できます。

`A = (π/4) Σ_{q≥1} (1/q⁴) Σ_{1≤p≤q, (p,q)=1} 1`

ここで、内側のΣは、`q` と互いに素な `p` (`1≤p≤q`) の数を数えており、これはオイラーのトーシェント関数 `φ(q)` に等しくなります。

`A = (π/4) Σ_{q≥1} φ(q)/q⁴`

この無限級数は、リーマンゼータ関数 `ζ(s)` を用いて表現でき、最終的に `A = (π/4) (ζ(3) / ζ(4))` という美しい関係が得られます。

`ζ(3)` はアペリーの定数として知られており、`ζ(4)` は `π⁴/90` です。これらの値を代入すると、総面積は以下のように計算されます。

`A = (π/4) (ζ(3) / (π⁴/90)) = (45/2) * (ζ(3) / π³)`

この値は約 0.872284041 となり、無限に存在するこれらの円がx=0からx=1の区間において占める面積の割合を示しています。

関連事項

- ファレイ数列
- Stern-Brocot tree
- アポロニウスのギャスケット
- 双曲幾何学
- オイラーのトーシェント関数
- リーマンゼータ関数
- アペリーの定数

参照

- 『フォードの円』 - 高校数学の美しい物語
- cut-the-knotウェブサイト Ford's Touching Circles
- Weisstein, Eric W. "Ford Circle". mathworld.wolfram.com (英語).

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