フィボナッチ素数

フィボナッチ素数の概要

フィボナッチ素数とは、フィボナッチ数列に含まれる素数のことを指します。フィボナッチ数列とは、最初の二つの数を 0 および 1 とし、それ以降の各数を前の二つの数の和として定義される数列であり、次のように表されます。

• - F0 = 0
• - F1 = 1
• - F2 = F0 + F1 = 1
• - F3 = F1 + F2 = 2
• - F4 = F2 + F3 = 3
• - 等々。

このように生成される数列の中から、素数に当たる数字を抜き出したのがフィボナッチ素数です。

フィボナッチ素数の具体例

最初に確認されたフィボナッチ素数は以下の通りです（n が素数のときの F_n）:

• - 3
• - 5
• - 13
• - 233
• - 1597

これらの数がフィボナッチ素数であることは広く認識されています。具体的には、最初のフィボナッチ数列の中で素数となる数を以下のリストで挙げます。最初の33個のフィボナッチ素数は次の通りです:

• - F3 = 2
• - F4 = 3
• - F5 = 5
• - F7 = 13
• - F11 = 89
• - F13 = 233

その他、フィボナッチ数のうちフィボナッチ素数である可能性のある n の値には次のようなものがあります:

• - 104911
• - 130021
• - 590041

素数とフィボナッチ数の関係において、興味深いことは、一般的に n が素数である時に Fn もフィボナッチ素数であることが多いという点です。とは言え、すべての素数 n に対して Fn が必ずしも素数になるとは限りません。

フィボナッチ素数の出現頻度

フィボナッチ数の中で素数が出現する頻度は、n の値が増加するにつれて減少することが確認されています。10,000以下の素数の中で、フィボナッチ素数はわずか26個のみです。このため、無限にフィボナッチ素数が存在するかどうかも未解明のままです。

最大のフィボナッチ素数

2009年11月の時点で、確認済みの最大のフィボナッチ素数は17103桁の F_81839 です。この数は、2001年に David Broadhurst と Bouk de Water によって素数であると証明されました。また、2018年3月に Henri Lifchitzによって見つかった698096桁の F_3340367 も素数である可能性があると考えられています。

フィボナッチ数の整除性

フィボナッチ数の中でも、特に興味深いのは、素数番目のフィボナッチ数とそれ未満のフィボナッチ数は互いに素である、即ち公約数が1以外存在しないという点です。これは次のような式から明らかです。

• - GCD(F_n, F_m) = F_GCD(n, m)

具体的に言うと、n が3以上の場合、n が m で割り切れる場合に限り、F_n が F_m で割り切れるとのことです。この特性は、数論におおきな示唆を与えています。

まとめ

フィボナッチ素数は、フィボナッチ数列から得られる素数として数学の面で重要な役割を果たしています。その性質や発見の歴史は数学愛好家たちにとって興味深く、今後の研究によってさらに多くの情報が解明されることが期待されます。

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