フェンシェルの双対性定理

フェンシェルの双対性定理

フェンシェルの双対性定理は、ウェルナー・フェンシェルにちなんで名付けられた、凸函数の理論における重要な結果です。この定理は、最適化の文脈で、真凸函数と真凹函数の双対的関係を評価するための基盤を提供します。

定理の概要

この定理では、真凸函数 ƒ と真凹函数 g が与えられたとき、特定の正則性条件が満たされると、次の等式が成り立つことが示されています。

$$
\min_{x}(f(x) - g(x)) = \max_{p}(g_{\star}(p) - f^{\star}(p))
$$

ここで、ƒ は f の凸共役、g は g の凹共役を意味します。具体的には、凸共役とは、ある函数の各点における「最高値」を与える変換であり、凹共役も同様に定義されます。

定義:

• - 凸共役の定義は以下の通りです。

$$
f^{\star}(x^{}) := \sup \{\langle x^{}, x \rangle - f(x) | x \in \mathbb{R}^{n}\}
$$

• - 凹共役の定義は次のように記述されます。

$$
g_{\star}(x^{}) := \inf \{\langle x^{}, x \rangle - g(x) | x \in \mathbb{R}^{n}\}
$$

バナッハ空間における定理の適用

フェンシェルの双対性定理は、バナッハ空間においても適用可能です。ここでは、関数 f と g がそれぞれのバナッハ空間 X および Y 上の凸関数であるとし、A を有界線型作用素とします。この場合において、次のようなフェンシェルの問題が提示されます。

• - 最適化問題:

$$
p^{} = \inf_{x \in X} \{f(x) + g(Ax)\}
$$

• - 双対問題:

$$
d^{} = \sup_{y^{} \in Y^{}} \{-f^{}(A^{}y^{}) - g^{}(-y^{})\}
$$

ここで、p は原点における最適値、d は双対問題における最適値を表します。この定理が満たす条件は p ≥ d* です。

強双対性と充分条件

特に、f と g が下半連続であり、いずれかの条件が満たされると、強双対性が成立します。すなわち、最適値が等しいことが保証されます。

• - 強双対性成立の条件:

1. 0 が A dom f − dom g のコアに含まれる場合。
2. A dom f と cont g の交わりが空集合でない場合。

このように、フェンシェルの双対性定理は最適化理論や数学解析において非常に重要な役割を果たし、双対性の概念を利用することで問題解決に対する新たな視点を提供します。

参考文献

この定理についての詳細は、Ralph Tyrrell Rockafellar の著書『Convex Analysis』に記載されています。また、関連項目にはルジャンドル変換や凸共役性などが含まれます。

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