バナッハ空間
バナッハ空間とは、数学、特に関数解析学において中心的な役割を果たす空間の一つです。
バナッハ空間は、完備なノルム空間と定義されます。具体的には、ノルムと呼ばれる「長さ」や「大きさ」を測る概念が定義された線型空間のうち、そのノルムが定める距離に関して完備であるものを指します。ここで言う「完備」とは、空間内の任意のコーシー列（数列の項が互いに限りなく近づいていくような列）が、必ずその空間内の点に収束するという性質のことです。
ノルム空間 V がバナッハ空間であるための厳密な条件は、V 内の任意のコーシー列 `{v_n}` に対して、ある V の元 `v` が存在し、`n` を限りなく大きくしたときに `v_n` が `v` に収束すること、すなわち `lim_{n→∞} ‖v_n - v‖ = 0` が成り立つことです。
バナッハ空間を考える際には、その基となる体（係数体）が実数体 `R` または複素数体 `C` である場合が一般的です。それぞれ実バナッハ空間、複素バナッハ空間と呼ばれます。
「バナッハ空間」という名称は、この概念を1920年から1922年にかけてハンス・ハーンやエドゥアルト・ヘリーらと共に導入したポーランドの数学者、ステファン・バナフ（Stefan Banach）に敬意を表して命名されました。
バナッハ空間は、解析学に登場する多くの無限次元関数空間にとって基本的な構造を提供します。これらの空間は、その位相構造がノルムによって自然に定められています。以下に代表的な例を挙げます。
有限次元ユークリッド空間 `R^n`: 次元 `n` の実ベクトル空間 `R^n` は、様々なノルム（例えば成分の絶対値のp乗和のp乗根で定義される `ℓ_p` ノルムや、成分の絶対値の最大値で定義される `ℓ_∞` ノルム）に関してバナッハ空間となります。特に、p=2の場合が通常のユークリッドノルムです。
`ℓ_p` 空間: 1以上の実数 `p` に対し、`p` 乗総和可能な実数列 `{a_n}` 全体からなる空間 `ℓ_p` は、適切なノルム `‖a‖_p = (Σ|a_n|^p)^{1/p}` に関してバナッハ空間です。また、有界な実数列全体からなる空間 `ℓ_∞` も、ノルム `‖a‖_∞ = sup |a_n|` に関してバナッハ空間になります。
`L_p` 空間: 測度空間 `(Ω, μ)` 上の `p` 乗可積分関数全体からなる空間 `L_p(Ω, μ)` (1 ≤ p < ∞) は、ノルム `‖f‖_p = (∫|f|^p dμ)^{1/p}` に関してバナッハ空間です。また、本質的に有界な関数全体からなる空間 `L_∞(Ω, μ)` も適切なノルム（本質的上限）に関してバナッハ空間です。測度空間 `(N, 数え上げ測度)` の場合、`L_p` 空間は `ℓ_p` 空間と一致します。
連続関数空間 `C(I)`: 有界閉区間 `I` 上の実数値連続関数全体 `C(I)` は、最大値ノルム `‖f‖_∞ = max_{x∈I} |f(x)|` に関してバナッハ空間となります。
ヒルベルト空間: 内積から導かれるノルムに関して完備な内積空間であるヒルベルト空間は、定義上すべてバナッach空間に含まれます。
既存のバナッハ空間から新たなバナッハ空間を構成する方法がいくつかあります。
直和空間: 二つのバナッハ空間 `X, Y` に対して、それらの直和 `X ⊕ Y` には、例えば `‖x ⊕ y‖ = (‖x‖_p + ‖y‖_p)^{1/p}` (1 ≤ p ≤ ∞) のような標準的なノルムを定義することでバナッハ空間の構造を与えることができます。
商空間: バナッハ空間 `X` の閉部分線型空間 `M` による商空間 `X / M` もまたバナッハ空間となります。
同じ基礎体上のバナッハ空間 `V, W` の間の連続線型写像全体 `L(V, W)` は、作用素ノルム `‖A‖ = sup{‖Ax‖_W : x∈V, ‖x‖_V ≤ 1}` に関してバナッハ空間となります。特に、`W` が基礎体 `K` である場合、`V` から `K` への連続線型写像全体の空間 `L(V, K)` は `V` の双対空間 `V'` と呼ばれ、これも作用素ノルムに関してバナッハ空間です。
双対空間 `V'` の双対空間 `V''` を二重双対空間と呼びます。任意の `x ∈ V` に対して、`V'` の元 `f` に `f(x)` を対応させる写像を考えると、これは `V` から `V''` への自然な写像 `F` (`F(x)(f) = f(x)`) を定めます。ハーン・バナッハの定理により、この写像 `F` は単射であり、距離を保つ写像（等距写像）です。もしこの写像が全射であるならば、バナッハ空間 `V` は回帰的（または反射的）であると言われます。
回帰的なバナッハ空間は多くの良い幾何学的性質を持ちます。バナッハ空間が回帰的であることと、その双対空間が回帰的であることは同値であり、さらに単位球体が弱位相に関してコンパクトであることとも同値です。
例として、`ℓ_p` 空間は `1 < p < ∞` のときに回帰的ですが、`ℓ_1` や `ℓ_∞` は回帰的ではありません。
バナッハ空間のうち、そのノルムが内積から導かれるもの（すなわち、ノルム `‖v‖` に対して `‖v‖² = ⟨v, v⟩` となる内積 `⟨u, v⟩` が存在する空間）は、ヒルベルト空間と呼ばれます。したがって、すべてのヒルベルト空間はバナッハ空間ですが、その逆は一般には成り立ちません。
バナッハ空間がヒルベルト空間になるための必要十分条件は、そのノルムが中線定理（または平行四辺形法則） `‖u+v‖² + ‖u-v‖² = 2(‖u‖² + ‖v‖²)` を任意の `u, v` に対して満たすことです。この条件を満たす場合、内積は偏極恒等式によってノルムから一意的に定義されます。
例えば、有限次元空間 `R^n` はユークリッドノルムに関してはヒルベルト空間ですが、他の `ℓ_p` ノルム (p≠2) に関してはバナッハ空間ではあってもヒルベルト空間ではありません。無限次元の場合も同様で、`L_p` 空間は常にバナッachですが、ヒルベルトとなるのは `p = 2` の場合（すなわち `L_2` 空間）に限られます。
次元: ベールの範疇定理の結果として、無限次元バナッハ空間のハメル基底は必ず非可算集合となります。
微分法: バナッハ空間上でも、フレシェ微分やガトー微分といった様々な微分の概念が定義されています。
一般化: 函数解析学には、バナッハ空間の他にも完備な構造を持つ重要な空間が存在します。例えば、フレシェ空間は完備な距離を持つ線型空間ですが、必ずしもノルムを持ちません。LF空間は、フレシェ空間の極限として定義される完備な一様線型空間です。
バナッハ空間論は、現代数学の様々な分野、特に偏微分方程式論や確率論などにおいて不可欠な道具となっています。
定義
バナッハ空間は、完備なノルム空間と定義されます。具体的には、ノルムと呼ばれる「長さ」や「大きさ」を測る概念が定義された線型空間のうち、そのノルムが定める距離に関して完備であるものを指します。ここで言う「完備」とは、空間内の任意のコーシー列（数列の項が互いに限りなく近づいていくような列）が、必ずその空間内の点に収束するという性質のことです。
ノルム空間 V がバナッハ空間であるための厳密な条件は、V 内の任意のコーシー列 `{v_n}` に対して、ある V の元 `v` が存在し、`n` を限りなく大きくしたときに `v_n` が `v` に収束すること、すなわち `lim_{n→∞} ‖v_n - v‖ = 0` が成り立つことです。
バナッハ空間を考える際には、その基となる体（係数体）が実数体 `R` または複素数体 `C` である場合が一般的です。それぞれ実バナッハ空間、複素バナッハ空間と呼ばれます。
名称の由来
「バナッハ空間」という名称は、この概念を1920年から1922年にかけてハンス・ハーンやエドゥアルト・ヘリーらと共に導入したポーランドの数学者、ステファン・バナフ（Stefan Banach）に敬意を表して命名されました。
解析学における重要性と例
バナッハ空間は、解析学に登場する多くの無限次元関数空間にとって基本的な構造を提供します。これらの空間は、その位相構造がノルムによって自然に定められています。以下に代表的な例を挙げます。
有限次元ユークリッド空間 `R^n`: 次元 `n` の実ベクトル空間 `R^n` は、様々なノルム（例えば成分の絶対値のp乗和のp乗根で定義される `ℓ_p` ノルムや、成分の絶対値の最大値で定義される `ℓ_∞` ノルム）に関してバナッハ空間となります。特に、p=2の場合が通常のユークリッドノルムです。
`ℓ_p` 空間: 1以上の実数 `p` に対し、`p` 乗総和可能な実数列 `{a_n}` 全体からなる空間 `ℓ_p` は、適切なノルム `‖a‖_p = (Σ|a_n|^p)^{1/p}` に関してバナッハ空間です。また、有界な実数列全体からなる空間 `ℓ_∞` も、ノルム `‖a‖_∞ = sup |a_n|` に関してバナッハ空間になります。
`L_p` 空間: 測度空間 `(Ω, μ)` 上の `p` 乗可積分関数全体からなる空間 `L_p(Ω, μ)` (1 ≤ p < ∞) は、ノルム `‖f‖_p = (∫|f|^p dμ)^{1/p}` に関してバナッハ空間です。また、本質的に有界な関数全体からなる空間 `L_∞(Ω, μ)` も適切なノルム（本質的上限）に関してバナッハ空間です。測度空間 `(N, 数え上げ測度)` の場合、`L_p` 空間は `ℓ_p` 空間と一致します。
連続関数空間 `C(I)`: 有界閉区間 `I` 上の実数値連続関数全体 `C(I)` は、最大値ノルム `‖f‖_∞ = max_{x∈I} |f(x)|` に関してバナッハ空間となります。
ヒルベルト空間: 内積から導かれるノルムに関して完備な内積空間であるヒルベルト空間は、定義上すべてバナッach空間に含まれます。
バナッハ空間の構成
既存のバナッハ空間から新たなバナッハ空間を構成する方法がいくつかあります。
直和空間: 二つのバナッハ空間 `X, Y` に対して、それらの直和 `X ⊕ Y` には、例えば `‖x ⊕ y‖ = (‖x‖_p + ‖y‖_p)^{1/p}` (1 ≤ p ≤ ∞) のような標準的なノルムを定義することでバナッハ空間の構造を与えることができます。
商空間: バナッハ空間 `X` の閉部分線型空間 `M` による商空間 `X / M` もまたバナッハ空間となります。
連続線型写像と双対空間
同じ基礎体上のバナッハ空間 `V, W` の間の連続線型写像全体 `L(V, W)` は、作用素ノルム `‖A‖ = sup{‖Ax‖_W : x∈V, ‖x‖_V ≤ 1}` に関してバナッハ空間となります。特に、`W` が基礎体 `K` である場合、`V` から `K` への連続線型写像全体の空間 `L(V, K)` は `V` の双対空間 `V'` と呼ばれ、これも作用素ノルムに関してバナッハ空間です。
双対空間 `V'` の双対空間 `V''` を二重双対空間と呼びます。任意の `x ∈ V` に対して、`V'` の元 `f` に `f(x)` を対応させる写像を考えると、これは `V` から `V''` への自然な写像 `F` (`F(x)(f) = f(x)`) を定めます。ハーン・バナッハの定理により、この写像 `F` は単射であり、距離を保つ写像（等距写像）です。もしこの写像が全射であるならば、バナッハ空間 `V` は回帰的（または反射的）であると言われます。
回帰的なバナッハ空間は多くの良い幾何学的性質を持ちます。バナッハ空間が回帰的であることと、その双対空間が回帰的であることは同値であり、さらに単位球体が弱位相に関してコンパクトであることとも同値です。
例として、`ℓ_p` 空間は `1 < p < ∞` のときに回帰的ですが、`ℓ_1` や `ℓ_∞` は回帰的ではありません。
ヒルベルト空間との関係
バナッハ空間のうち、そのノルムが内積から導かれるもの（すなわち、ノルム `‖v‖` に対して `‖v‖² = ⟨v, v⟩` となる内積 `⟨u, v⟩` が存在する空間）は、ヒルベルト空間と呼ばれます。したがって、すべてのヒルベルト空間はバナッハ空間ですが、その逆は一般には成り立ちません。
バナッハ空間がヒルベルト空間になるための必要十分条件は、そのノルムが中線定理（または平行四辺形法則） `‖u+v‖² + ‖u-v‖² = 2(‖u‖² + ‖v‖²)` を任意の `u, v` に対して満たすことです。この条件を満たす場合、内積は偏極恒等式によってノルムから一意的に定義されます。
例えば、有限次元空間 `R^n` はユークリッドノルムに関してはヒルベルト空間ですが、他の `ℓ_p` ノルム (p≠2) に関してはバナッハ空間ではあってもヒルベルト空間ではありません。無限次元の場合も同様で、`L_p` 空間は常にバナッachですが、ヒルベルトとなるのは `p = 2` の場合（すなわち `L_2` 空間）に限られます。
その他の概念
次元: ベールの範疇定理の結果として、無限次元バナッハ空間のハメル基底は必ず非可算集合となります。
微分法: バナッハ空間上でも、フレシェ微分やガトー微分といった様々な微分の概念が定義されています。
一般化: 函数解析学には、バナッハ空間の他にも完備な構造を持つ重要な空間が存在します。例えば、フレシェ空間は完備な距離を持つ線型空間ですが、必ずしもノルムを持ちません。LF空間は、フレシェ空間の極限として定義される完備な一様線型空間です。
バナッハ空間論は、現代数学の様々な分野、特に偏微分方程式論や確率論などにおいて不可欠な道具となっています。
もう一度検索
【記事の利用について】
タイトルと記事文章は、記事のあるページにリンクを張っていただければ、無料で利用できます。
※画像は、利用できませんのでご注意ください。
【リンクついて】
リンクフリーです。