フレドホルム積分方程式

フレドホルム積分方程式は、スウェーデンの数学者エリック・イヴァル・フレドホルム（Erik Ivar Fredholm）によって深く研究された積分方程式です。この方程式の解や関連する数学的概念は、彼の名を冠したフレドホルム理論の基盤となっています。

この積分方程式の最大の特徴は、積分を行う区間の限界が固定された定数であるという点です。これに対し、積分区間の一方の限界が変数となる積分方程式は、ヴォルテラ積分方程式と呼ばれ、形の上で似ていますが性質や解法が異なります。

フレドホルム積分方程式は、その形式によって主に第一種と第二種に分類されます。

第一種フレドホルム積分方程式

第一種フレドホルム積分方程式では、求めたい未知の関数が積分の記号の中に含まれています。非等質形の一般的な形式は以下のようになります。

$$
g(t) = \int_{a}^{b} K(t,s) f(s)\,ds
$$

ここで、$g(t)$ と核関数 $K(t,s)$ は既知の関数であり、未知の関数 $f(s)$ を求めることがこの方程式の目的です。もし $g(t)$ が恒等的にゼロである場合、この方程式は等質形と呼ばれます。

特に、核関数 $K(t,s)$ が二つの引数の差のみ、すなわち $K(t-s)$ の形で表され、積分の区間が無限大（$-\infty$ から $\infty$）である場合、右辺は関数 $K$ と $f$ の畳み込みとして解釈できます。このような場合、この方程式の解はフーリエ変換を利用して以下のように得られます。

$$
f(t) = {\mathcal{F}}_{\omega}^{-1}\left{{\mathcal{F}}_{t}[g(t) \over {\mathcal{F}}_{t}K(t)}\right] = \int_{-\infty}^{\infty}{{{\mathcal{F}}_{t}g(t) \over {\mathcal{F}}_{t}K(t)}}\ e^{2\pi i\omega t}d\omega
$$

ここで ${\mathcal{F}}_{t}$ は変数 $t$ に関するフーリエ変換、${\mathcal{F}}_{\omega}^{-1}$ は変数 $\omega$ に関する逆フーリエ変換を表します。

第二種フレドホルム積分方程式

第二種フレドホルム積分方程式は、未知の関数が積分記号の中にも外にも現れる形で記述されます。非等質形は次のように表されます。

$$
\phi(t) = f(t) + \lambda \int_{a}^{b} K(t,s) \phi(s)\,ds
$$

この場合、与えられた関数 $f(t)$ と核関数 $K(t,s)$、そして定数 $\lambda$ から、未知の関数 $\phi(t)$ を求めます。$f(t)$ が恒等的にゼロである場合は、等質形となります。

第二種フレドホルム積分方程式を解くための標準的なアプローチの一つに、レゾルベントの方法論があります。この方法によって得られる解は、リウヴィル–ノイマン級数と呼ばれる級数展開の形で表現されることがあります。

一般的な理論

フレドホルム積分方程式の研究を支える一般的な数学理論は、フレドホルム理論と呼ばれます。この理論の重要な成果の一つとして、特定の条件下にある核関数 $K(t,s)$ がコンパクト作用素と呼ばれる性質を持つことが示されます。コンパクト作用素としての性質は、同程度連続性などの概念を用いて証明されることがあり、そのスペクトル（固有値の集合）は、0に収束する離散的な値から構成されるという特徴を持っています。

応用分野

フレドホルム積分方程式とその理論は、数学の様々な分野だけでなく、物理学や工学においても重要な応用が見られます。例えば、信号処理の分野では、スペクトル密度問題を分析する際に自然に登場します。また、観測データから原因を探る逆問題や、既知の原因から結果を予測する線形前進モデリングの定式化においても、フレドホルム積分方程式が用いられます。

これらの方程式の研究は、線形作用素論や関数解析といった現代数学の発展にも寄与しており、現在でも活発に研究されています。

フレドホルム積分方程式