フレネルの式

フレネルの式とは

フレネルの式は、光が異なる屈折率を持つ二つの媒質の境界面で反射および屈折する際の挙動を記述する一連の数式です。フランスの物理学者オーギュスタン・ジャン・フレネルによって導かれました。この式は、光の波動的な性質を理解する上で非常に重要であり、光学分野における多くの現象を説明するために用いられます。

定義

光が媒質の境界面に入射すると、その一部は反射し、残りは透過（屈折）します。フレネルの式は、これらの反射光と透過光の振幅やエネルギーの比率を、入射角、屈折角、そして各媒質の屈折率を用いて表します。フレネルの式は、電場の振幅反射率・振幅透過率を表す式、エネルギー反射率・透過率を表す式、さらには電場の振幅反射率・振幅透過率をフレネル係数と呼ぶこともあります。これらの式は、光の偏光状態（p波とs波）を考慮してそれぞれ導出されます。

導出と表式

フレネルの式を導出するにあたっては、以下の仮定が用いられます。

入射側と透過側の媒質は、透明で等方性の誘電体である。
透磁率 μ は真空の透磁率 μ₀ に等しい（つまり、屈折率 n は ε/ε₀ の平方根で表される）。

これらの条件下で、電場と磁場の境界条件を適用します。具体的には、界面に平行な電場と磁場の成分が、界面の両側で等しいという条件を用います。この条件を満たすように、反射波と透過波の振幅を入射波の振幅で規格化することにより、フレネルの式が導かれます。

境界条件を満たすためには、入射波、反射波、透過波の波動ベクトルの境界面に平行な成分が等しくなければなりません。この条件から、反射角が入射角に等しいという反射の法則と、スネルの法則 `n₁sin(α) = n₂sin(β)` が導かれます。ここで、n₁とn₂はそれぞれ入射側と透過側の屈折率、αとβは入射角と屈折角です。

これらの関係を用いて、p波（TM波）とs波（TE波）それぞれの振幅反射率と振幅透過率を求めると、以下のようになります。

p波

振幅透過率 (tp): `tp = 2n₁cos(α) / (n₂cos(α) + n₁cos(β)) = 2sin(β)cos(α) / (sin(α + β)cos(α - β))`
振幅反射率 (rp): `rp = (n₂cos(α) - n₁cos(β)) / (n₂cos(α) + n₁cos(β)) = tan(α - β) / tan(α + β)`

s波

振幅透過率 (ts): `ts = 2n₁cos(α) / (n₁cos(α) + n₂cos(β)) = 2sin(β)cos(α) / sin(α + β)`
振幅反射率 (rs): `rs = (n₁cos(α) - n₂cos(β)) / (n₁cos(α) + n₂cos(β)) = -sin(α - β) / sin(α + β)`

これらの式における符号は、定義によって異なることがあります。光のエネルギーは電場の振幅の二乗に比例するため、エネルギー反射率 R とエネルギー透過率 T は、振幅の二乗から計算されます。ただし、透過率を計算する際には、屈折率の違いと角度変化による係数を考慮する必要があります。

エネルギー透過率 (Ts,p): `Ts,p = (n₂/n₁) (cos(β)/cos(α)) ts,p² = (tan(α) / tan(β)) ts,p²`
エネルギー反射率 (Rs,p): `Rs,p = rs,p²`

ブリュースター角と全反射

ブリュースター角: p波の反射率 (rp) がゼロになる入射角 α をブリュースター角と呼びます。この角度では、p波は反射せずに完全に透過します。
全反射: 入射角がある角度以上になると、光が全て反射する現象を全反射と呼びます。全反射が起こる最小の角度を臨界角と呼びます。全反射は、入射側の屈折率が入射側の屈折率よりも大きい場合 `n₁ > n₂` に発生します。

コンピュータグラフィックスにおける近似式

偏光していない光に対するフレネル反射係数 Fr は、Schlick の近似式で計算されることがあります。この式は、垂直入射時のフレネル反射係数の実部 F₀ を用いて、以下の式で表されます。

`Fr = F₀ + (1 - F₀)(1 - cos(θ))^5`

ここで、θ は入射角です。

参考文献

鶴田 匡夫 『応用光学I』 培風館, 1990年, 139-144頁。
山口 一郎 『応用光学』 オーム社, 1998年, 87-94頁。

関連項目

反射
偏光
スネルの法則

外部リンク

フレネルの式 - コトバンク
フレネルの公式 - コトバンク

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