ブラーマグプタの定理

ブラーマグプタの定理

ブラーマグプタの定理は、平面幾何学、特に円と四角形に関連する基本的な定理の一つです。この定理は、特定の条件下にある円内接四角形の性質を示しており、古代インドの数学者であるブラーマグプタにその名がちなんで付けられました。

定理の主張

この定理が扱うのは、円に内接する四角形の中でも、特にその二本の対角線が互いに垂直に交わるという条件を満たす図形です。具体的には、円周上に順に並ぶ4つの点を A, B, C, D とし、線分 AC（対角線）と線分 BD（対角線）が点 M で直角に交わっているような四角形 ABCD を考えます。このとき、定理は次のように主張します。

点 M から辺 BC に向かって下ろした垂線の足を E とします。すなわち、線分 ME は辺 BC と垂直に交わります。そして、この線分 ME を M の側から延長した直線が、四角形の反対側の辺 AD と交わる点を F とします。この設定において、点 F は辺 AD のちょうど真ん中の点、つまり中点となります。

数式で表せば、線分 AF の長さと線分 FD の長さが等しい（AF = FD）という結論が得られるのです。

日本の高等学校で学ぶ初等幾何学においても、この定理は扱われることがあります。

証明

定理の主張である AF = FD を証明するためには、点 F が辺 AD の中点であることを示す必要があります。ここでは、辺 AF の長さが線分 FM の長さに等しいこと（AF = FM）、そして辺 FD の長さも線分 FM の長さに等しいこと（FD = FM）を示し、それによって AF = FD を導く方法を紹介します。

AF = FM であることの証明

三角形 AFM が二等辺三角形であることを示し、AF = FM を導きます。そのためには、底角にあたる ∠FAM と ∠FMA が等しいことを示せば十分です。

1. ∠FAM と ∠CBM の関係: 点 A, B, C, M は円周上ではありませんが、点 A, B, C, D は円周上にあります。円周角の定理により、同じ弧 CM（または BC）に対する円周角である ∠CAM と ∠CBM は等しくなります。点 F は直線 AM 上にあるため、∠CAM は ∠FAM と同じ角です。したがって、∠FAM = ∠CBM が成り立ちます。
2. ∠CBM と ∠CME の関係: 直線 EM は点 M から辺 BC に下ろされた垂線の一部であるため、∠MEC = 90°です。直角三角形 MEC を考えると、∠CME + ∠BCM = 90° です。また、直角三角形 MEB を考えると、∠BME + ∠CBM = 90° です。インプットの情報によると、∠CBM と ∠CME は等しい関係にあるとされています。
3. ∠CME と ∠FMA の関係: 点 M, E, F は一直線上にあります。また、∠CME と ∠FMA は、この直線 EM（または EF）と直線 BC、直線 AD がそれぞれ作る角度です。インプットの情報では、この二つの角も等しいと述べられています。

これらの関係、すなわち ∠FAM = ∠CBM、∠CBM = ∠CME、そして ∠CME = ∠FMA を組み合わせると、∠FAM = ∠FMA が導かれます。したがって、三角形 AFM は ∠FAM と ∠FMA を底角とする二等辺三角形であり、その等しい辺は AF と FM です。ゆえに、AF = FM が証明されました。

FD = FM であることの証明

同様に、三角形 DFM が二等辺三角形であることを示し、FD = FM を導きます。そのためには、底角にあたる ∠FDM と ∠DMF が等しいことを示せば十分です。

インプットの情報によると、∠FDM、∠BCM、∠BME、∠DMF の四つの角はすべて等しい関係にあるとされています。このことから、特に ∠FDM = ∠DMF が成り立ちます。

したがって、三角形 DFM は ∠FDM と ∠DMF を底角とする二等辺三角形であり、その等しい辺は FD と FM です。ゆえに、FD = FM が証明されました。

結論

以上の証明により、AF = FM かつ FD = FM が成り立つことが示されました。このことから、直ちに AF = FD という結論が得られます。これは、当初の定理の主張である「F は辺 AD の中点である」ことを正確に示しています。

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