対角線

対角線：図形を理解する鍵

幾何学において、対角線は単純多角形や多面体において重要な役割を果たす線分です。本稿では、対角線の定義から、多角形における本数の計算、正多角形の対角線の長さ、そして初等教育における扱いまでを詳細に解説します。

対角線の定義

対角線とは、単純多角形や多面体の異なる2つの頂点を結ぶ線分のうち、辺ではない線分のことです。簡単に言うと、辺ではない頂点と頂点を結ぶ線分が対角線です。2次元図形である多角形では、凸多角形の場合、対角線の両端以外の部分は多角形の内部に位置します。

3次元以上の多面体では、対角線は面上にあるものと内部を通るものの2種類が存在します。前者は面対角線、後者は体対角線と呼ばれます。

多角形の対角線

多角形の対角線は、「隣り合わない頂点を結んだ線分」と定義することもできます。n角形（nは3以上の自然数）の対角線の本数dnは、以下の式で求められます。


dn = n(n-3) / 2


これは、各頂点から引ける対角線の数が(n-3)本であり、n個の頂点全てを考慮するとn(n-3)となるのですが、この計算では各対角線を2回ずつ数えているため、2で割る必要があるためです。別の考え方として、n個の頂点から2個を選ぶ組み合わせから辺の数nを引いたものとしても求めることができます。

正多角形の対角線の長さ

正n角形（nは3以上の自然数）の対角線の長さは、種類数で考えると以下のようになります。


⌊n/2⌋ - 1 = (2n - 5 + (-1)^n) / 4


ここで、⌊x⌋は床関数（x以下の最大の整数）を表します。例えば、正五角形ならば、(5/2) -1 = 1種類、正六角形ならば、(6/2) - 1 = 2種類です。正五角形の対角線5本を全て繋げると五芒星となり、正六角形の短い6本の対角線を組み合わせると六芒星（ダビデの星）になります。

初等教育における対角線

初等教育では、図形の理解を深めるために五角形や六角形の対角線を取り上げる場合があります。教科書では、対角線を「向かい合った頂点を結んだ直線」と定義することがありますが、五角形などでは「向かい合う」という概念が分かりにくいことから、授業では生徒の様々な捉え方について議論されることもあります。

まとめ

対角線は、一見単純な図形要素ですが、その計算や幾何学的な性質を理解することは、図形全体を理解する上で非常に重要です。本稿で解説した内容が、図形に関する理解を深める一助となれば幸いです。

もう一度検索