ブロカールの問題

ブロカールの問題

ブロカールの問題（Brocard's problem）は、特定の整数のペア (n, m) が、次の方程式を満たすかどうかを調査する数学の問いです。

```
n! + 1 = m²
```

ここで、n! はnの階乗を表し、mは自然数です。この問題は、1876年および1885年にフランスの数学者アンリ・ブロカールによって提起されました。その後、1913年には著名な数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャンも独自に同
様の問題を提示しています。

ブラウン数

上記の方程式を満たす (n, m) の組は「ブラウン数（Brown numbers）」と呼ばれています。これまでに発見されているブラウン数の組は次の3つです。

• - (4, 5)
• - (5, 11)
• - (7, 71)

これらの組は、オンライン整数列大辞典において特定の数列としても登録されています。数学者ポール・エルデシュは、これら以外の解が存在しないのではないかと予測しています。1993年の研究では、ABC予想が正しいと仮定することによって、解の個数が有限であることが示されました。また、2000年にはBerndtとGalwayが109までのnについて調査し、その範囲では他に解がないことを確認しました。

問題の一般化

Dabrowskiは1996年に、Overholtの結果を一般化し、ABC予想が正しければ自然数Aに対して次の方程式も満たす解は有限であることを示しました。

```
n! + A = k²
```

特に、Aが平方数でない場合には、ABC予想に依存せず解が有限であることも示されました。この時、最小の素数pを取ると、k² - Aはpで割り切れないため、nは常にp未満である必要があります。

また、指数が2より大きい場合や、方程式

```
x² + y² = n!
```

についても、ErdősとObláthによる1937年の研究により、1 + 1 = 2!以外の解は存在しないことが確認されています。同じく、

```
xⁿ - yⁿ = n! (x > y, gcd(x, y) = 1, n ≥ 3)
```

の形の方程式についても、mが4以外の時には解がなく、m = 4の時にも有限の解しか持たないことが示されています。他にも、

```
m! ± n! = x^k (m > n > 0, k ≥ 2)
```

の解も有限であることが述べられています。1973年にはPollackとShapiroによって、方程式

```
x^4 - 1 = n!
```

が解を持たないことが明らかにされました。

参考文献

本問題は多くの数学者によって研究され、多数の論文が発表されています。重要な文献には以下のものがあります。

• - Berndt, Bruce C.; Galway, William F. (2000). “The Brocard–Ramanujan diophantine equation n! + 1 = m²”, The Ramanujan Journal.
• - Brocard, H. (1876). “Question 166”, Nouv. Corres. Math.
• - Dabrowski, A. (1996). “On the Diophantine Equation x! + A = y²”, Nieuw Arch. Wisk.
• - Erdős, Paul & Obláth, Richard (1937). “Über diophantische Gleichungen der Form n! = xⁿ ± yⁿ”, Acta Litt. Sci. Szeged.

このように、ブロカールの問題は数学の深い未知を探る重要な問題であり、今後の研究への期待が寄せられています。

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