ブロッホ方程式

ブロッホ方程式

ブロッホ方程式（英: Bloch equations）は、磁気共鳴の現象を定量的に記述するための方程式です。この方程式は1946年にフェリックス・ブロッホによって最初に提唱されました。さらに1957年には、物理学者リチャード・ファインマンがこの方程式の適用範囲を広げ、量子力学における密度行列の時間発展に関する新しい見解を示しました。彼はブロッホ方程式を用いてアンモニアメーザーの解析を行い、量子力学の応用としての重要性を示しました。

概要

ブロッホ方程式は、核スピンを持つ集団が静的な磁場に置かれたときの振る舞いを説明します。ここで、磁場の方向をz軸に定義し、核スピンのz成分をSz、熱平衡状態でのz成分を⟨Sz⟩とします。また、x成分Sxの熱平衡値およびy成分Syの熱平衡値はゼロと定義されます。

核スピンは静磁場の周囲でラーモア歳差運動を行いますが、特定の周波数の高周波磁場と共鳴すると、スピンが逆転します。これによって、熱平衡状態から外れた核スピン集団が再び熱平衡に戻る過程が観測されます。静磁場をHz、高周波中の磁場成分をHxおよびHyとしたとき、ブロッホ方程式は次のように表されます：

$$
\begin{aligned}
\frac{dS_{z}}{dt} & = \gamma (S_{x}H_{y} - S_{y}H_{x}) - \frac{S_{z} - \langle S_{z} \rangle}{T_{1}} \\
\frac{dS_{x}}{dt} & = \gamma (S_{y}H_{z} - S_{z}H_{y}) - \frac{S_{x}}{T_{2}} \\
\frac{dS_{y}}{dt} & = \gamma (S_{z}H_{x} - S_{x}H_{z}) - \frac{S_{y}}{T_{2}}
\end{aligned}
$$

ここで、γは核磁気モーメント、T1は縦緩和時間、T2は横緩和時間を表します。

量子力学における2状態系

ブロッホ方程式は、共鳴波長光に応答する原子の二準位系、光子の偏光状態、およびスピン1/2の系における一般的な量子力学の記述に利用されます。2つの正規直交状態を|1⟩と|2⟩とすると、系の量子状態|ψ(t)⟩や密度行列は次のように表されます：

$$
2\rangle \\ \
\hat{\rho} = |\psi(t)\rangle \langle \psi(t)|
$$

密度行列は、以下のように展開できます：

$$
\hat{\rho} = |c_{1}|^{2}|1\rangle \langle 1| + c_{1}c_{2}^{\ast}|1\rangle \langle 2| + c_{2}c_{1}^{\ast}|2\rangle \langle 1| + |c_{2}|^{2}|2\rangle \langle 2|
$$

この際、ブロッホベクトルと呼ばれる3次元の単位ベクトルが定義され、時間発展は次の形で表されます：

$$\frac{d}{dt} \vec{s}(t) = \vec{\Omega}(t) \times \vec{s}(t)$$

この式は、ブロッホ方程式に基づいていることを示し、静磁場と高周波磁場の相互作用によって系が時間とともに変化していく様子を記述します。

このように、ブロッホ方程式は核スピンの挙動や量子系の動的特性を理解するために不可欠なツールとなっています。

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