ブロッホ＝ドミニシスの定理

ブロッホ＝ドミニシスの定理

ブロッホ＝ドミニシスの定理は、量子多体系の研究において非常に重要な役割を果たす理論です。この定理は、熱平均が定義された多点相関関数を、2点相関関数の組み合わせに分解することを示しています。この分解は、特に有限温度の系において、相関の性質や温度依存性を理解するために不可欠です。

定理の成り立ち

ブロッホ＝ドミニシスの定理は、まず生成演算子および消滅演算子から導入されます。これらの演算子は非摂動系の自由ハミルトニアンに基づいており、定理の証明にはこれらの演算子を用いた計算が含まれます。平均値はグランドカノニカル分布に基づく熱平均を用いられ、n点相関関数が偶数のときのみ非ゼロであることが示されます。

具体的には、n点相関関数は以下のように表されます。

\[
\langle A_1 A_2 \cdots A_n \rangle_0 = \left\{ \begin{matrix} 0 & (n:\text{odd}) \\ \sum_{m=2}^{n} (\pm 1)^m \langle A_1 A_m \rangle_0 \langle A_2 \cdots A_{m+1} A_{m-1} \cdots A_n \rangle_0 & (n:\text{even}) \end{matrix} \right.
\]

ここで、2点相関関数は「縮約」と呼ばれる操作であり、演算子の順序の入れ替えに伴う符号の変化についても考慮されます。この符号は、フェルミ粒子とボーズ粒子で異なるため、詳細な注意が必要です。

さらに、nが偶数の場合には、この結果を反復的に適用することができ、全ての演算子の縮約の組み合わせ和に分解することができます。このプロセスは、たとえば次のように表現されます。

\[
\langle A_1 A_2 \cdots A_n \rangle_0 = \sum_{P}' (\pm 1)^{P} \langle A_{i_1} A_{i_2} \rangle_0 \langle A_{i_3} A_{i_4} \rangle_0 \cdots \langle A_{i_{n-1}} A_{i_n} \rangle_0
\]

縮約と記法

この定理の中心的な部分は「縮約」にあります。縮約は複数の演算子を組み合わせる際に用いられ、それに関連する記法も導入されています。たとえば、次のように定義されます。

\[
A^{\bullet} B^{\bullet} := \langle A B \rangle_0
\]

この記法を用いることで、全ての可能な縮約の組み合わせを記述することが容易になります。

実際の応用

ブロッホ＝ドミニシスの定理は、実際に物理的な計算に広く用いられています。特に、3点および4点相関関数の場合、以下のような明確な結果が得られます。

\[
\langle ABC \rangle_0 = 0
\]

また、4点相関関数は以下のようになります。

\[
\langle ABCD \rangle_0 = \langle AB \rangle_0 \langle CD \rangle_0 \pm \langle AC \rangle_0 \langle BD \rangle_0 + \langle AD \rangle_0 \langle BC \rangle_0
\]

このようにして、ブロッホ＝ドミニシスの定理は相関関数を扱うための強力な道具となります。

まとめ

ブロッホ＝ドミニシスの定理は、量子統計物理学における重要な理論であり、量子多体系の熱的特性や相関を理解する上で欠かせない役割を果たしています。その利用によって、熱平均や相関関数の振る舞いが明確に示され、物理学の様々な分野へ応用されることが期待されています。

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