ハミルトニアン

ハミルトニアン：エネルギーと物理系の性質を解き明かす鍵

ハミルトニアン（Hamiltonian）とは、物理学においてエネルギーに対応する物理量であり、各物理系の多くの性質を特徴づける重要な概念です。その名は、イギリスの物理学者ウィリアム・ローワン・ハミルトンに由来します。

本稿では、古典力学（解析力学）と量子力学の観点からハミルトニアンを解説します。量子力学は古典力学を発展させた理論であるため、両者には密接な関係があります。ハミルトニアンは、古典力学では関数、量子力学では演算子または行列として表現されます。

古典力学（解析力学）におけるハミルトニアン

古典力学、特に解析力学において、ハミルトニアン H は、運動エネルギー T とポテンシャルエネルギー V の和として定義されます。

H = H(q, p; t) = T + V

ここで、q は一般化座標、p は一般化運動量、t は時間を表します。

ハミルトニアンの構成方法

ハミルトニアンは、ラグランジュ形式の解析力学におけるラグランジアン L をルジャンドル変換することで得られます。

1. まず、対象とする系に対してラグランジアン L = L(q_i, q̇_i; t) を構成します。
2. 次に、正準運動量 p_i を以下のように定義します。
p_i = ∂L/∂q̇_i
3. この正準運動量を用いて、ラグランジアンを変数 (q_i, q̇_i) から (q_i, p_i) にルジャンドル変換します。
4. その結果、ハミルトニアン H が以下の式で得られます。
H({q_i}, {p_i}; t) = Σ_i p_iq̇_i - L({q_i}, {q̇_i}; t)
ここで、q̇_i は正準運動量の定義式を用いて p_i で書き換えられます。

ハミルトニアンの全微分は、ハミルトンの正準方程式を導出するために用いられます。対象とする系に応じて、直交座標系、極座標系など、適切な座標系を選択することが重要です。

量子力学におけるハミルトニアン

量子力学においても、ハミルトニアンは系の全エネルギーを表します。しかし、量子力学では正準量子化により、位置と運動量が演算子で表されます。そのため、ハミルトニアンも演算子としての性質を持ち、無限次元の行列として表現することもできます。シュレーディンガーの波動方程式とハイゼンベルクの行列力学は異なる表現を用いますが、本質的には等価です。

時間に依存しないシュレーディンガー方程式は、以下の固有値問題として表されます。

ĤΨ = EΨ

ここで、Ĥ はハミルトニアン演算子、Ψ は固有関数（固有状態）、E はエネルギー固有値です。この方程式を解くことで、系のエネルギー固有値と固有状態が求まります。現実の計算では、無限次元行列を有限次元行列で近似して解くことが多いです。観測されるエネルギー固有値を得るためには、ハミルトニアン演算子はエルミート演算子である必要があります。

ハミルトニアンのスペクトルは、系の全エネルギー測定における可能な測定値の集合となります。系の時間発展と密接に関連しているため、量子論の定式化において極めて重要な役割を果たします。

ハミルトニアンの代表例

自由粒子系

相互作用のない自由粒子系の場合、ハミルトニアンは運動エネルギーのみで表されます。3次元空間を運動する1粒子のハミルトニアンは次の通りです。

H = (1/2m)(p_x² + p_y² + p_z²)

N粒子系では、

H = Σ_i=1^N (1/2m)(p_xi² + p_yi² + p_zi²)

となります。

保存力が存在する場合

ポテンシャル U(x, y, z) による保存力が作用する3次元空間の1質点系では、ハミルトニアンは以下のように表されます。

H = (1/2m)(p_x² + p_y² + p_z²) + U(x, y, z)

極座標系を用いると、より複雑な表現になります。正準量子化を行うと、ハミルトニアンは微分演算子を含む形になります。

ハミルトニアン