ブールの不等式

ブールの不等式とは

ブールの不等式、またはユニオンバウンド（英: Boole's inequality）は、確率論における基本的な理論の一つで、特定の事象の集合において、少なくとも1つの事象が発生する確率が、個々の事象の確率の総和を超えないことを示します。この不等式は、数学者ジョージ・ブールにちなんで名付けられました。

数式での表現

ブールの不等式は次のように表現されます：

$$
P\left(\bigcup_{i} A_{i}\right) \leq \sum_{i} P(A_{i})
$$

ここで、$A_{i}$は考慮する事象の可算集合であり、$P(A)$は事象Aの確率を示します。これは、全ての$A_{i}$の和集合における確率が、各事象の確率の合計を超えないということを示しています。

この不等式は、測度論におけるσ-劣加法的性質からも導かれます。

証明の概要

有限個の事象に関するブールの不等式については、帰納法を用いることで証明できます。まず、1つの事象（$n=1$）について考えれば、以下が成立します：

$$
P(A_{1}) \leq P(A_{1})
$$

次に、$n$個の事象に対して不等式が成り立つと仮定し、$n+1$個に拡張します。和集合から$A_{n+1}$を追加することで、以下の関係が成り立ちます：

$$
P\left(\bigcup_{i=1}^{n+1} A_{i}\right) \leq P\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_{i}\right) + P(A_{n+1})
$$

これを使用し、$P(\bigcup_{i=1}^{n}A_{i})$についても、主張される不等式が適用されることを示すことができます。これにより、一般のケースに対しても不等式が成り立つことが確認できます。

ボンフェローニの不等式

ブールの不等式を一般化することにより、ボンフェローニの不等式が導かれます。この不等式は、複数の事象の確率上限および下限を提供します。ボンフェローニの不等式は、事象の相互作用を考慮しており、特に次のように定義されます：

• - $S_{1} := \sum_{i=1}^{n} P(A_{i})$
• - $S_{2} := \sum_{1 \leq i < j \leq n} P(A_{i} \cap A_{j})$
• - 以降も同様に定義される$S_{k}$が、$k$に応じた事象の交わりの確率を合計します。

この不等式は、$k = 1$のケースではブールの不等式と一致し、$k = n$ならば等号が成立し、包除原理に関連します。

結論

ブールの不等式は確率論の基礎的な理論であり、個別の事象の確率よりも和集合の確率が常に小さいことを示すため、確率の上界を提供します。この不等式は、確率分布や確率空間においてのさまざまな理論的背景を持ち、確率の計算や確率論の研究における重要な要素となっています。

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