プラスチック数

プラスチック数（Plastic number）は、三次方程式 x³ = x + 1 の唯一の実数解であり、その値は以下の式で表されます。

ρ = (1/2 + (1/6)√(23/3))^(1/3) + (1/2 - (1/6)√(23/3))^(1/3)

または

ρ = ((9 + √69)/18)^(1/3) + ((9 - √69)/18)^(1/3)

この数は、小数点以下27桁まで近似すると 1.324717957244746025960908854 となります。

黄金比がフィボナッチ数列、白銀比がペル数の隣接項比の極限であるように、プラスチック数はパドヴァン数列およびペラン数列の隣接項比の極限値として現れます。

プラスチック数の性質

プラスチック数は、以下の代数方程式の実数解でもあります。

x⁵ = x⁴ + 1
x⁵ = x² + x + 1
x⁶ = x² + 2x + 1
x⁶ = x⁴ + x + 1
x⁷ = 2x⁵ - 1
x⁷ = 2x⁴ + 1
x⁸ = x⁴ + x³ + x² + x + 1
x⁹ = x⁶ + x⁴ + x² + x + 1
x¹² = 2x¹⁰ - x⁴ - 1
x¹⁴ = 4x⁹ + 1

プラスチック数は、ピゾ＝ヴィジャヤラガヴァン数の中で最小の数です。

プラスチック数の平方 (ρ²) は、方程式 (x-1)² = 1/x の実数解であり、その値は約 1.754877666246692760049508896 です。

様々な表現

プラスチック数は、以下のように様々な形で表現できます。

ρ = (2/√3) cosh( (1/3) arcosh(3√3/2) )
ρ = √(1 + 1/√(1 + 1/√(1 + ... )))
ρ = ∛(1 + ∛(1 + ∛(1 + ... )))

さらに、プラスチック数は自身の無限幾何級数としても表現可能です。

ρ = Σ(n=0 to ∞) ρ^(-5n)
* ρ² = Σ(n=0 to ∞) ρ^(-3n)

これらの表現は、プラスチック数が持つ数学的な深さと多様性を示しています。この数は、数学、特に数列や代数方程式の研究において興味深い対象となっています。

外部リンク

Weisstein, Eric W. "Plastic constant". mathworld.wolfram.com (英語)

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