ペラン数

ペラン数とは

ペラン数（Perrin number）とは、特定の漸化式に基づいて定義される整数列のことです。ペラン数列は、初期条件として 3, 0, 2 を持ち、一般的な式は次のように表されます。

• - P(0) = 3
• - P(1) = 0
• - P(2) = 2

その後、n > 2 に対しては、次の漸化式に従います。

• - P(n) = P(n-2) + P(n-3)

この規則に従い、最初のいくつかのペラン数は以下の通りに計算されます：

3, 0, 2, 3, 2, 5, 5, 7, 10, 1[[2]], 17, 22, 29, 39, ...

この数列は「ペラン数列」と呼ばれ、特にグラフ理論においては、n 頂点の閉路グラフにおける異なる極大独立集合の個数を表すことでも知られています。

歴史

ペラン数についての言及は1878年にエドゥアール・リュカによって行われ、1899年にはR. Perrinが再びこの数列に触れました。1982年、アダムスとシャンクスによってこの数列の詳細な研究が進められ、ペラン数列という名前が付けられました。

母関数

ペラン数列の母関数は次の式で表されます：

$$ G(P(n); x) = \frac{3 - x^2}{1 - x^2 - x^3} $$

この母関数は数列の生成に重要な数学的背景を提供します。

行列形式

ペラン数は行列形式でも表現でき、次のような行列を使った式が得られます：

$$
\begin{pmatrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}^n \begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}P(n + 2) \\ P(n + 1) \\ P(n) \end{pmatrix}
$$

この行列の形式は、ペラン数の計算を効率的に行うための手段となります。

Binetの公式

ペラン数は方程式 $x^3 - x - 1 = 0$ の解の累乗を用いて表現できます。この方程式は実数解と複素解析解を持ち、フィボナッチ数列のBinetの公式に類似した形で次のように表されます：

$$ P(n) = p^n + q^n + r^n $$

ここで、pはプラスチック数と呼ばれる実数解であり、qとrは複素数解です。充分に大きなnに対すると、q^n, r^nは0に近づくため、次の式が成り立ちます。

$$ P(n) \approx p^n $$

この形は、大きなnへのペラン数の高速計算に役立ちます。

乗法公式

Binetの公式を活用すると、ペラン古典数列の特性を利用して連続する項の合成も行えます。これにより、整数演算を用いてペラン数を効率的に計算する手法が確立されました。

ペラン擬素数とペラン素数

ペラン番号の中には、ペラン擬素数（Perrin pseudoprime）として知られる特別な数も存在し、これらはnで割り切れるペラン数を代表します。初めに見つかったペラン擬素数は271441であり、その後も多くのペラン擬素数が発見されています。また、ペラン素数は場合によってペラン数列の中で素数であるものを指します。

このように、ペラン数はその数理的背景から多くの数学的興味を引く存在であり、さまざまな分野での応用が期待されています。

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