プラスマイナス記号

プラスマイナス記号（±）について

プラスマイナス記号（±）は、数学や科学の分野で頻繁に目にする記号です。この記号は、単に「プラスまたはマイナス」を示すだけでなく、文脈によって様々な意味を持ちます。この記事では、プラスマイナス記号の歴史、主な用法、そして関連する記号について詳しく解説します。

歴史

プラスマイナス記号は、1626年にアルバート・ジラールによって数学的な意味で初めて使用されました。この記号の導入により、数式や計算における表現の幅が広がり、より簡潔に情報を伝えることが可能になりました。

主な用法

プラスマイナス記号には、主に以下の二つの用法があります。

1. 近似値の精度を示す

最も一般的な用法は、測定値や近似値の誤差範囲を示す場合です。例えば、「5.7 ± 0.2」という表記は、測定値が5.7であり、誤差範囲が±0.2であることを示します。つまり、実際の値は5.5から5.9の間に存在すると考えられます。科学分野では、この誤差範囲は通常、2標準偏差（約95.4%の確率で真の値が含まれる範囲）を意味します。

また、誤差をパーセンテージで示すこともあります。例えば、「230 V ± 10%」という表記は、電圧が230 Vであり、その10%の範囲（207 Vから253 V）に変動する可能性があることを示します。

2. 符号が反対の2つの値を略記する

数学では、プラスマイナス記号は、一つの式で二つの異なる解を表現するために使用されます。特に二次方程式の解の公式が代表的な例です。

二次方程式 ax² + bx + c = 0 の解は、以下のように表されます。

math
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}


この式は、実際には以下の二つの解を表しています。

math
x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}


math
x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}


このように、プラスマイナス記号を使うことで、一つの式で複数の解を簡潔に表現できます。

三角関数の恒等式にも、この用法が見られます。

math
sin(x \pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y


この式は、以下の二つの式を同時に表しています。

math
sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y


math
sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y


正弦関数のテイラー展開では、以下のように使用されます。

math
\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots \pm \frac{1}{(2n+1)!}x^{2n+1} + \dots


この場合、プラスマイナス記号は、項の符号が交互に変わることを示しています。偶数番目の項は加算され、奇数番目の項は減算されます。これは、(-1)^n を用いることで、より明確に表現できます。

マイナスプラス記号（∓）

マイナスプラス記号（∓）は、プラスマイナス記号と組み合わせて使用されることがあります。特に、式中でプラスマイナス記号が複数回現れる場合に、その対応関係を示すために用いられます。

例えば、「x ± y ∓ z」という式は、「x + y - z」または「x - y + z」を表します。この場合、プラスマイナス記号の上側の記号（+）を選ぶと、マイナスプラス記号も上側の記号（-）を選びます。下側の記号についても同様です。この対応関係を「複号同順」と言います。

一方、「x ± y ± z」という表記は、「x + y + z」、「x + y - z」、「x - y + z」、「x - y - z」の全ての組み合わせを表します。この場合は、マイナスプラス記号は用いられず、これを「複号任意」と言います。

三角関数の恒等式では、以下のように使用されます。

math
\cos(x \pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y


この場合、マイナスプラス記号を用いることで、式の意味が明確になります。

文字コード

プラスマイナス記号は、JIS X 0208 や JIS X 0213、ISO/IEC 8859|ISO_IEC 8859などの文字コードに登録されています。Unicode では U+00B1 に割り当てられており、HTML では `±` で表現できます。

マイナスプラス記号は、Unicode では U+2213 に割り当てられており、HTML では `∓` で表現できます。TeXでは、それぞれ `\pm` と `\mp` で符号化されています。

まとめ

プラスマイナス記号（±）は、数学や科学において不可欠な記号です。近似値の精度を示す場合や、符号が異なる複数の値を簡潔に表す場合など、文脈によって多様な意味を持ちます。マイナスプラス記号（∓）と組み合わせて使用することで、より複雑な数式を明確に表現することが可能です。これらの記号を正しく理解し、活用することで、数理的な表現がより正確かつ効率的になります。

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