プロカ方程式

プロカ方程式の概要

場の量子論におけるプロカ方程式は、質量をもつスピン1の相対論的ボース粒子と、それに付随するベクトル場の運動を説明するための重要な方程式です。この方程式は、特定の条件における相互作用や粒子の振る舞いを詳細に理解する上で、基本的な役割を果たしています。プロカ方程式は、スカラー場の動きを示すクライン＝ゴルドン方程式を、4成分のベクトル場に置き換えたものとして理解することができます。具体的には、プロカ方程式は以下のように表されます。

$$\left(\partial_{\mu}\partial^{\mu}+m^{2}\right)A^{
u}=0$$

ここで、$A^{
u}$は実ベクトル場を表し、$m$はその質量です。ミンコフスキー空間においては、計量テンソルを(diag(+1, -1, -1, -1))として採用します。

ラグランジアン密度

プロカ方程式を導出するために用いられる基本的なラグランジアン密度はプロカ形式と呼ばれ、質量を持つベクトル場を表現します。このプロカ形式は、シュテュッケルベルク形式の補助スカラー場を無視した場合の形式と等しいものです。プロカ形式に関連するラグランジアン密度は次のように示されます。

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu

u}F^{\mu
u}+\frac{1}{2}m^{2}A_{
u}A^{
u}$$

ここで、$F_{\mu

u}$は、実際には以下の定義に基づいて計算されるテンソルです。

$$F_{\mu

u} \equiv \partial_{\mu}A_{
u}-\partial_{
u}A_{\mu}$$

このラグランジアン密度にはベクトル場に質量項が含まれているため、ゲージ不変性が失われる点に注意が必要です。

運動方程式の導出

プロカ方程式は、オイラー＝ラグランジュ方程式を利用して導出することができます。ラグランジアン密度を基に次のように知られています。

$$\partial_{\mu}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}A_{
u})}\right)-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_{
u}}=0$$

この方程式を使って運動方程式を得ると、プロカ方程式が導き出されます。プロカ方程式の形式は次のようになります。

$$\partial_{\mu}(\partial^{\mu}A^{
u}-\partial^{
u}A^{\mu})+m^{2}A^{
u}=0$$

ここで、両辺に$\partial_{
u}$を掛けることにより、結果として得られる関係式は次の通りです。

$$\partial_{\mu}\partial_{
u}F^{\mu
u}=0$$

これにより、質量が不ゼロの場合にはローレンツゲージ条件
$$\partial_{\mu}A^{\mu}=0$$

が自動的に導かれ、最終的にプロカ方程式が示されます。

$$\left(\partial_{\mu}\partial^{\mu}+m^{2}\right)A^{
u}=0$$

このように、プロカ方程式は質量を持つスピン1の粒子の性質を記述しており、理論物理学において重要な位置を占めています。なお、四元ベクトルポテンシャルは、本来4成分有するものの、ローレンツゲージ条件の適用により独立な成分が3つに制限されることにも触れておく必要があります。

もう一度検索