計量テンソル

計量テンソル

計量テンソル（英: metric tensor）は、リーマン幾何学の分野で用いられる、空間の微小な構造を記述するための基本的な概念です。これは階数2のテンソルとして定義され、空間の局所的な性質を表現する上で極めて重要な役割を果たします。

役割とリーマン多様体

計量テンソルの最も基本的な役割は、空間における距離と角度といった幾何学的な概念を定義することにあります。これにより、一般的な曲線や多様体の上で、ユークリッド空間における測量のように、長さや角度を測ることが可能になります。

多様体が与えられたとき、その各点における接空間に、滑らかに変化する非負の計量テンソルが定義できる場合、その多様体はリーマン多様体と呼ばれます。このように、計量テンソルは多様体にリーマン構造を与えるものとして、しばしばリーマン計量とも称されます。

座標表示と成分

特定の座標系（例えば $x^i$）を選ぶと、計量テンソルはその成分を行列形式で表現できます。一般に大文字の $G$ で表され、その成分は $g_{ij}$ と記述されます。平坦な空間であるユークリッド空間では、直交座標系を選んだ場合に計量テンソルは単位行列となりますが、一般の多様体や歪んだ座標系では、その成分は場所によって変化し、単位行列以外の形を取ります。

数式においては、しばしばアインシュタインの縮約記法が用いられます。これは、添え字が上下に同じように現れる項について、その添え字に関する和をとるという規則です。

距離と角度の定義

計量テンソル $g_{ij}$ を用いることで、多様体上の幾何学的な量を具体的に計算できます。

例えば、時刻 $t_1$ から $t_2$ までの曲線がパラメータ $t$ で $x^i(t)$ と表されるとき、その曲線の長さ $L$ は以下のように定義されます。

$$
L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{g_{ij}{dx^{i} \over dt}{dx^{j} \over dt}}dt
$$

この式において、$g_{ij}$ は、微小な線素の長さ $ds$ を計算する際の各座標成分の寄与を調整する係数として機能していると解釈できます。これは、ユークリッド空間におけるピタゴラスの定理の一般化と考えることができます。

また、2つの接ベクトル $U = u^i \frac{\partial}{\partial x^i}$ と $V = v^i \frac{\partial}{\partial x^i}$ のなす角度 $\theta$ は、以下のような式で与えられます。これは、計量テンソルを用いたベクトルの内積を定義し、その結果として角度を求めるものです。

$$
\cos \theta = {\frac{g_{ij}u^{i}v^{j}}{\sqrt{\left|g_{ij}u^{i}u^{j}\right|\left|g_{ij}v^{i}v^{j}\right|}}}
$$

ここで、$g_{ij}u^i v^j$ はベクトル $U$ と $V$ の内積を一般化したものであり、分母はそれぞれのベクトルの「長さ」（ノルム）を表しています。

具体的な計量の例

計量テンソルは、座標系の選び方や空間の曲がり具合によって様々な形を取ります。

ユークリッド空間（平坦な空間）:
直交直線座標系 $(x^1, x^2)$:
$$ g = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad ds^2 = (dx^1)^2 + (dx^2)^2 $$
この場合、$g$ は単位行列となり、微小な長さ $ds$ の計算は通常のピタゴラスの定理に従います。
極座標 $(x^1, x^2) = (r, \theta)$:
$$ g = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & (x^1)^2 \end{bmatrix}, \quad ds^2 = (dr)^2 + r^2(d\theta)^2 $$
$g$ は対角成分に $r^2$ が現れ、角度方向の微小変位が距離に換算される際に $r^2$ がかかることを示しています。
円筒座標 $(x^1, x^2, x^3) = (r, \theta, z)$:
$$ g = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & (x^1)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad ds^2 = (dr)^2 + r^2(d\theta)^2 + (dz)^2 $$
球座標 $(x^1, x^2, x^3) = (r, \theta, \phi)$:
$$ g = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & (x^1)^2 & 0 \\ 0 & 0 & (x^1\sin x^2)^2 \end{bmatrix}, \quad ds^2 = (dr)^2 + r^2(d\theta)^2 + r^2\sin^2\theta (d\phi)^2 $$
これらの例は、同じユークリッド空間でも、異なる座標系では計量テンソルの形が変わることを示しています。

時空（ローレンツ多様体）:
平坦なミンコフスキー空間 $(x^0, x^1, x^2, x^3) = (t, x, y, z)$:
$$ g = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad ds^2 = -(dt)^2 + (dx)^2 + (dy)^2 + (dz)^2 $$
時間成分の符号が空間成分と異なる非負ではない計量を持つ空間は、リーマン多様体とは区別され、ローレンツ多様体などと呼ばれます。これは特殊相対性理論や一般相対性理論における時空の記述に不可欠です。

非ユークリッド空間:
ポアンカレ円板 (双曲幾何学):
$$ ds^2 = \frac{4}{(1-(x^2+y^2))^2}(dx^2+dy^2) $$
計量テンソルの成分が位置によって変化し、空間が一定の負の曲率を持つことを示しています。
シュワルツシルト計量など、さらに複雑な計量が、ブラックホールの近傍といった曲がった時空を記述するために用いられます。

このように、計量テンソルは多様体の幾何学的構造、特にその上で距離や角度をどのように測るかを定める、リーマン幾何学における中心的な概念です。

的な概念です。

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