ベッセルの不等式
ベッセルの不等式は、数学、特に函数解析学において重要な役割を果たす不等式です。ヒルベルト空間 \( H \) 内の任意の元 \( x \) と、正規直交列 \( e_1, e_2, ... \) が与えられたとき、この不等式は \( x \) の各 \( e_k \) 方向への成分の大きさの二乗和が、\( x \) 自身の大きさの二乗を超えないことを主張します。
具体的には、ヒルベルト空間 \( H \) 内の任意のベクトル \( x \) に対して、次の不等式が成立します。
$$ \sum_{k=1}^{\infty} |\langle x, e_k \rangle|^2 \leq ||x||^2 $$
ここで、\( \langle x, e_k \rangle \) は \( x \) と \( e_k \) の内積を表し、\( ||x|| \) は \( x \) のノルム（大きさ）を表します。
この不等式は、\( x \) を正規直交列の成分に分解したときの各成分のエネルギーが、元のベクトルのエネルギーを超えないという、物理的にも直感的な意味を持ちます。特に、\( \langle x, e_k \rangle \) は \( x \) の \( e_k \) 方向への射影の大きさを表しており、この不等式は、これらの射影成分の二乗和が元のベクトルの二乗ノルムで抑えられることを意味します。
また、ベッセルの不等式から、\( x \) を正規直交列 \( e_1, e_2, ... \) で展開した級数 \( x' = \sum_{k=1}^{\infty} \langle x, e_k \rangle e_k \) は必ず収束することがわかります。これは、この級数で表されるベクトル \( x' \) がヒルベルト空間 \( H \) 内に存在することを保証します。\( e_1, e_2, ... \) が完全正規直交列（つまり、\( H \) の基底）である場合、ベッセルの不等式はパーセヴァルの等式となり、\( x' = x \) が成立します。このとき、不等号は等号に置き換わり、\( \sum_{k=1}^{\infty} |\langle x, e_k \rangle|^2 = ||x||^2 \) となります。
ベッセルの不等式は、次の関係式から導出されます。任意の自然数 \( n \) に対して、
$$ 0 \leq \left\| x - \sum_{k=1}^{n} \langle x, e_k \rangle e_k \right\|^2 = ||x||^2 - 2 \sum_{k=1}^{n} |\langle x, e_k \rangle|^2 + \sum_{k=1}^{n} |\langle x, e_k \rangle|^2 = ||x||^2 - \sum_{k=1}^{n} |\langle x, e_k \rangle|^2 $$
この関係式は、\( x \) から、\( x \) の \( e_1 \) から \( e_n \) までの成分を射影したベクトルを差し引いた残りのベクトルのノルムの二乗が、必ず非負であるという事実に基づいています。
この不等式は、フーリエ解析における係数の評価や、直交関数系を用いた関数近似など、様々な応用があります。特に、信号処理や量子力学において重要な役割を果たしています。
ベッセルの不等式は、ヒルベルト空間におけるベクトルの分解と、その成分のエネルギーの関係を理解する上で不可欠な概念です。この不等式を通じて、無限次元空間における直交性の概念がより深く理解できるようになります。
関連項目
コーシー＝シュワルツの不等式
外部リンク
Bessel inequality - Encyclopedia of Mathematics
* Bessel's Inequality - MathWorld
具体的には、ヒルベルト空間 \( H \) 内の任意のベクトル \( x \) に対して、次の不等式が成立します。
$$ \sum_{k=1}^{\infty} |\langle x, e_k \rangle|^2 \leq ||x||^2 $$
ここで、\( \langle x, e_k \rangle \) は \( x \) と \( e_k \) の内積を表し、\( ||x|| \) は \( x \) のノルム（大きさ）を表します。
この不等式は、\( x \) を正規直交列の成分に分解したときの各成分のエネルギーが、元のベクトルのエネルギーを超えないという、物理的にも直感的な意味を持ちます。特に、\( \langle x, e_k \rangle \) は \( x \) の \( e_k \) 方向への射影の大きさを表しており、この不等式は、これらの射影成分の二乗和が元のベクトルの二乗ノルムで抑えられることを意味します。
また、ベッセルの不等式から、\( x \) を正規直交列 \( e_1, e_2, ... \) で展開した級数 \( x' = \sum_{k=1}^{\infty} \langle x, e_k \rangle e_k \) は必ず収束することがわかります。これは、この級数で表されるベクトル \( x' \) がヒルベルト空間 \( H \) 内に存在することを保証します。\( e_1, e_2, ... \) が完全正規直交列（つまり、\( H \) の基底）である場合、ベッセルの不等式はパーセヴァルの等式となり、\( x' = x \) が成立します。このとき、不等号は等号に置き換わり、\( \sum_{k=1}^{\infty} |\langle x, e_k \rangle|^2 = ||x||^2 \) となります。
ベッセルの不等式は、次の関係式から導出されます。任意の自然数 \( n \) に対して、
$$ 0 \leq \left\| x - \sum_{k=1}^{n} \langle x, e_k \rangle e_k \right\|^2 = ||x||^2 - 2 \sum_{k=1}^{n} |\langle x, e_k \rangle|^2 + \sum_{k=1}^{n} |\langle x, e_k \rangle|^2 = ||x||^2 - \sum_{k=1}^{n} |\langle x, e_k \rangle|^2 $$
この関係式は、\( x \) から、\( x \) の \( e_1 \) から \( e_n \) までの成分を射影したベクトルを差し引いた残りのベクトルのノルムの二乗が、必ず非負であるという事実に基づいています。
この不等式は、フーリエ解析における係数の評価や、直交関数系を用いた関数近似など、様々な応用があります。特に、信号処理や量子力学において重要な役割を果たしています。
ベッセルの不等式は、ヒルベルト空間におけるベクトルの分解と、その成分のエネルギーの関係を理解する上で不可欠な概念です。この不等式を通じて、無限次元空間における直交性の概念がより深く理解できるようになります。
関連項目
コーシー＝シュワルツの不等式
外部リンク
Bessel inequality - Encyclopedia of Mathematics
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