パーセヴァルの等式

パーセヴァルの等式

数学の解析学において、パーセヴァルの等式は、関数が持つエネルギーと、その関数のフーリエ係数との関係を示す基本的な定理です。マルク＝アントワーヌ・パーセバルにちなんで名付けられました。

フーリエ級数との関係

パーセヴァルの等式は、関数 $f(x)$ のフーリエ級数展開の係数 $c_n$ を用いて、次のように表されます。

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} |c_n|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2 dx$$

ここで、$c_n$ は関数 $f(x)$ のフーリエ係数であり、次式で定義されます。

$$c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-inx} dx$$

この等式は、関数 $f(x)$ の二乗の積分（エネルギー）が、そのフーリエ係数の二乗の和によって表せることを意味します。すなわち、関数を周波数成分に分解したとき、各周波数成分のエネルギーの総和が、元の関数のエネルギーと等しくなるという重要な関係を示しています。

この等式が成立するためには、関数 $f(x)$ が自乗可積分である必要があります。すなわち、 $f(x) \in L^2[-\pi,\pi]$ である必要があります。

フーリエ変換との関係

パーセヴァルの等式は、フーリエ変換に対しても類似の形を持つ、プランシュレルの定理と関連付けられます。関数 $f(x)$ のフーリエ変換を $\hat{f}(\xi)$ とすると、プランシュレルの定理は次のように表されます。

$$\int_{-\infty}^{\infty} |\hat{f}(\xi)|^2 d\xi = \int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^2 dx$$

この定理もまた、関数とそのフーリエ変換のエネルギーが等しいことを示しています。

ヒルベルト空間におけるピタゴラスの定理

パーセヴァルの等式は、より一般的に、ヒルベルト空間におけるピタゴラスの定理の一般化と見なすことができます。ヒルベルト空間 $H$ において、正規直交基底 $(e_n)$ が与えられたとき、任意のベクトル $x \in H$ に対して、パーセヴァルの等式は次のように表されます。

$$\sum_n |\langle x, e_n \rangle|^2 = ||x||^2$$

ここで、$\langle x, e_n \rangle$ はベクトル $x$ と基底ベクトル $e_n$ の内積であり、$||x||$ はベクトル $x$ のノルムを表します。この式は、ベクトル $x$ のノルムの二乗が、正規直交基底に対する成分の二乗の和に等しいことを示しており、これはピタゴラスの定理の一般化として理解できます。

特に、$H = L^2[-\pi,\pi]$ とし、$e_n = e^{-inx}$ とすると、フーリエ級数に対するパーセヴァルの等式が得られます。

一般的な内積空間におけるパーセヴァルの等式

パーセヴァルの等式は、可分ヒルベルト空間に限らず、任意の内積空間においても成立します。内積空間 $H$ において、正規直交基底 $B$ が total であるとき、任意のベクトル $x \in H$ に対して、次の等式が成り立ちます。

$$||x||^2 = \langle x, x \rangle = \sum_{v \in B} |\langle x, v \rangle|^2$$

ここで、$B$ が total であるとは、$B$ の線形包が $H$ において稠密であることを意味します。もし $B$ が total でない場合、等号は不等号 ($\ge$) に変わり、ベッセルの不等式が成立します。

パーセヴァルの等式は、関数解析、信号処理、量子力学など、さまざまな分野で重要な役割を果たしています。フーリエ級数やフーリエ変換を通じて、関数を周波数成分に分解し、そのエネルギーを解析する際に、この等式は基本的な道具となります。また、ヒルベルト空間におけるベクトルの分解という視点からも、その重要性は高く、数学的な概念を物理現象に適用する上で、不可欠なツールです。

参考文献

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Parseval equality”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4.
Johnson, Lee W.; Riess, R. Dean (1982), Numerical Analysis (2nd ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 0-201-10392-3.
Titchmarsh, E (1939), The Theory of Functions (2nd ed.), Oxford University Press.
Zygmund, Antoni (1968), Trigonometric series (2nd ed.), Cambridge University Press (1988発行), ISBN 978-0-521-35885-9.

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