ベルトランの仮説

ベルトランの仮説

ベルトランの仮説（英: Bertrand's postulate）は、1845年にフランスの数学者ジョゼフ・ベルトランによって提唱された数学的命題です。この仮説は、任意の自然数nに対して、2 ≤ n ≤ 3000000の範囲で、nと2nの間には必ず素数が存在するというものです。ベルトランはこの命題の特定の範囲において検証を行い、一般のケースについての予想を提示しました。しかし、実際にはこの命題の証明は1852年にパフヌティ・チェビシェフによって行われたため、現在では「ベルトラン＝チェビシェフの定理」または「チェビシェフの定理」として知られています。

証明のアプローチ

ガンマ関数を用いた証明

最初の証明はチェビシェフによるもので、ガンマ関数を用いた高度な方法でした。その後、1919年にシュリニヴァーサ・ラマヌジャンが、同じくガンマ関数を使用しながらも、チェビシェフの証明よりも簡潔な証明を提示しました。

初等的な証明

1932年には、数学者ポール・エルデシュが高校生だった頃に初等的な証明を提供しました。その後、一松信はエルデシュによる初等的な証明を整理し、2011年の『数研通信』で発表しました。また、2013年には強い評価式を用いた証明が発表され、2019年には『数学セミナー』で類似の証明も紹介されました。

背理法を用いた基本的な証明概念

この証明の基本的な構成は、背理法です。まず、自然数nを取ります。もしもn < p ≤ 2nを満たす素数pが存在しないと仮定します。その後、組合せ数2nCnをnの式で下と上から評価し、f(n) < 2nCn < g(n)と置きます。ここで、y = log x / xという式がx ≥ eの範囲で減少する性質を利用し、f(n) < g(n)が特定の自然数n0以上で成り立たないことを示します。さらに、n < n0のときにはnと2nの間に素数pが存在することが確認され、仮定との矛盾が導かれます。

素数定理を使った証明

素数定理によれば、nが十分大きい場合、nと2nの間の素数の数はn/log nに近いとされます。これは実際の素数の存在数が、ベルトランの仮説によって保証された数の存在よりも多いことを意味します。ただし、素数定理を用いるためには、実際の素数の数がn/log nからどの程度外れているかを評価する必要があり、これには複雑な証明が伴います。

ゴールドバッハの予想を使った証明

ゴールドバッハの予想が真であるとすれば、ベルトランの仮説は自然に示されます。このアプローチにより、もしもn < p ≤ 2nを満たす素数pが存在しない場合、特定の偶数が2つの素数及び13の2の冪の和として表現できないことが導かれます。また、nが示す条件に従い、特定の偶数が素数の和として表せないことも確認されます。

一般化

ポール・エルデシュはこの命題の一般化として、任意の自然数kに対し、ある自然数Nが存在し、任意の自然数n > Nにおいてnと2nの間に少なくともk個の素数が存在することを証明しました。

参考文献と外部リンク

さらなる学びのためには、以下の参考文献や外部リンクをご覧ください。具体的な証明や詳細な論文が多数掲載されています。

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