ガンマ関数

ガンマ関数とは

ガンマ関数（英: gamma function）は、数学において階乗の概念を複素数全体に拡張した特殊関数です。しばしば「複素階乗」とも呼ばれます。ガンマ関数は Γ(z) と表記され、自然数 n に対しては、以下の関係式が成り立ちます。

math
n! = Γ(n+1), Γ(n) = (n-1)!

歴史

ガンマ関数は、1729年にレオンハルト・オイラーによって無限乗積の形で初めて導入されました。Γ という記号は、1814年にルジャンドルによって導入されました。ガウスもそれ以前に同様の関数を得ており、Π(z) などと表記していました（ただし、Π(z) = Γ(z+1)）。

定義

実部が正となる複素数 z に対して、ガンマ関数は次の広域積分で定義されます。

math
Γ(z) = ∫0^∞ t^(z-1)e^(-t) dt (Re(z) > 0)


この積分表示は第二種オイラー積分とも呼ばれます。一般の複素数 z に対しては、解析接続または次の極限で定義されます。

math
Γ(z) = lim (n→∞) [n^z n! / ∏(k=0 to n) (z+k)]


他にも、互いに同値となるいくつかの定義が存在します。

基本的な性質

0 または負の整数でない、かつ実部が正の任意の複素数 z に対して、次の性質が成り立ちます。

math
Γ(z+1) = zΓ(z)


さらに、

math
Γ(1) = ∫0^∞ e^(-t) dt = 1


これらの性質から、任意の正の整数 n に対して、

math
Γ(n+1) = nΓ(n) = n(n-1)Γ(n-1) = ... = n!Γ(1) = n!


が成り立ちます。この意味で、ガンマ関数は階乗の定義域を複素平面に拡張したものとなっています。

歴史的には、ガンマ関数は「階乗の複素数への拡張となるもの」（複素階乗）の実例として、オイラーにより考案されました。階乗の複素数への拡張となる関数は無数に存在しますが、「正の実軸上で対数凸である解析関数」という条件を付ければ、それは一意に定まりガンマ関数となります（ボーア・モレルップの定理）。

右半平面においてオイラー積分で定義されたガンマ関数は、全平面に有理型に解析接続されます。

ガンマ関数は零点を持たず、原点と負の整数に一位の極を持ちます。その留数は、

math
Res(Γ, -n) = (-1)^n / n!


となります。

また、1/2 に対するガンマ関数の値は、ガウス積分の結果に一致します。

math
Γ(1/2) = √π


これから、自然数 n に対して、

math
Γ(1/2 + n) = [(2n-1)!! / 2^n]√π


が成立することがわかります。ここで !! は二重階乗を表します。この性質を利用して、高次元の球の体積と表面積を求めることができます。また、

math
Γ(1/2 - n) = [(-2)^n / (2n-1)!!]√π

スターリングの公式

z → ∞ での漸近展開として、ガンマ関数はスターリングの公式で近似されます。この漸近近似は複素平面全体（負の実数を除く）で成立しますが、|arg z| = π に近づくにつれ近似の誤差が大きくなる（極限の収束が遅くなる）ため、応用上は相反公式などを用いて |arg z| ≤ π/2 程度に制限することもあります。

相反公式

次の恒等式を相反公式 (reflection formula) といいます。

math
Γ(z)Γ(1-z) = π / sin(πz)


相補公式とも呼ばれます。

ルジャンドルの倍数公式

次の恒等式をルジャンドルの倍数公式と呼びます。これはガウスの乗法公式の特別な場合です。

math
Γ(z)Γ(z + 1/2) = 2^(1-2z) √(π) * Γ(2z)

微分方程式

ガンマ関数はいかなる代数的微分方程式も満たさないことが知られています。このことはヘルダーが1887年に最初に証明を与えました。

その他の情報

ガンマ関数は、物理学、統計学、工学など、さまざまな分野で現れる重要な特殊関数です。関連する関数として、不完全ガンマ関数、ベータ関数、ポリガンマ関数などがあります。

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