ベルヌーイ試行

概要

確率論や統計学の分野で用いられるベルヌーイ試行とは、たった二種類のどちらかの結果しか起こりえない、非常にシンプルな確率的試行を指します。さらに重要な特徴として、何度この試行を繰り返しても、特定の側の結果（これを便宜上「成功」と呼びます）が得られる確率が常に一定であるという性質を持ちます。この基本的な概念は、17世紀後半から18世紀初頭にかけて活躍したスイスの数学者、ヤコブ・ベルヌーイにその名を由来します。彼は1713年に出版された自身の著書『推測法（Ars Conjectandi）』の中で、この試行について詳細な分析を行いました。ベルヌーイ試行の概念を数学的に形式化したものは「ベルヌーイ過程」と呼ばれ、より高度な議論において扱われます。

定義と特徴

ベルヌーイ試行は、本質的に「はい」か「いいえ」のどちらかで答えられるような問いに対応します。例えば、以下のようなものです。

トランプの山の一番上のカードがエースであるか？
サイコロを振ったときに、出目が6であるか？

この際、「成功」や「失敗」という言葉は、結果を分類するための単なるラベルであり、文字通りの価値判断を伴うものではありません。特定の条件を満たす結果を「成功」、それ以外の結果を「失敗」と定義するに過ぎません。

一般的に、何らかの確率空間における特定の事象（起こりうる結果の集まり）を考えたとき、その事象が「起こった」か「起こらなかった」か、つまり事象とその余事象のいずれかであるか、という形でベルヌーイ試行を定義することが可能です。

具体例

ベルヌーイ試行は私たちの身近な事象の中にも見出すことができます。

コイントス: 公正なコインを投げたとき、表が出ることを「成功」、裏が出ることを「失敗」と定義できます。公正なコインであれば、「成功」の確率は常に1/2です。
サイコロの出目: 公正なサイコロを投げたとき、特定の目（例えば6）が出ることを「成功」、それ以外の目（1, 2, 3, 4, 5）が出ることを「失敗」と定義できます。この場合、「成功」の確率は1/6となります。
世論調査: 無作為に選ばれた有権者に対して、ある国民投票について「賛成」か「反対」か（または「どちらでもない」を一方に含めるなど）を尋ねる場合も、ベルヌーイ試行とみなせることがあります。

数学的な表現

一つのベルヌーイ試行において、「成功」する確率を $p$、「失敗」する確率を $q$ とします。結果は「成功」と「失敗」の二通りしかなく、これらは同時に起こらず（相互排他的）、かつどちらかは必ず起こる（網羅的）ため、これらの確率の合計は必ず1になります。

$p + q = 1$

この関係から、$q = 1 - p$ または $p = 1 - q$ が成り立ちます。

また、成功と失敗の相対的な可能性を示す「オッズ」という考え方で表現することもできます。「成功」のオッズは $p:q$（または $p/q$）、逆に「失敗」のオッズは $q:p$（または $q/p$）となります。もし有限回の試行で「成功」が $S$ 回、「失敗」が $F$ 回観測された場合、成功のオッズは約 $S:F$ と考えることもできます。

ベルヌーイ試行の結果を数値で表す場合、「成功」を1、「失敗」を0とするエンコーディングが一般的です。

二項分布の計算例（コイントス）

公正なコインを4回投げたときに、表（「成功」と定義）がちょうど2回出る確率を計算してみましょう。

1回の試行における成功確率 $p = 1/2$、失敗確率 $q = 1 - 1/2 = 1/2$ です。
試行回数は $n = 4$ 回、求めたい成功回数は $k = 2$ 回です。
二項分布の確率計算式に当てはめます。

$P(2) = inom{4}{2} (1/2)^2 (1/2)^{4-2}$
$P(2) = inom{4}{2} (1/2)^2 (1/2)^2$

ここで、$inom{4}{2}$（4個から2個を選ぶ組み合わせの数）は 6 です。

$P(2) = 6 imes (1/4) imes (1/4)$
$P(2) = 6 imes (1/16)$
$P(2) = 6/16 = 3/8$

したがって、公正なコインを4回投げたときに表がちょうど2回出る確率は 3/8、つまり 37.5% です。

このように、ベルヌーイ試行はシンプルながらも、より複雑な確率現象を理解し、計算するための基礎となる概念です。

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