ベルヌーイ過程

ベルヌーイ過程

ベルヌーイ過程は、離散時間の確率過程であり、2つの値を持つ独立な確率変数の列から構成されています。この過程は、コイントスのような試行を一般化したもので、ベルヌーイ変数とも呼ばれる確率変数が含まれています。これらの変数は通常、成功と失敗を示すために0と1という値を取ります。

定義

ベルヌーイ過程は、有限または無限の数の独立した確率変数列 \( X_1, X_2, X_3, \ldots \) によって定義されます。この変数列には以下の条件が課されています。

1. 各変数 \( X_i \) は0または1のいずれかの値を取る。
2. 確率 \( p \) で \( X_i = 1 \) となる確率は全ての \( i \) に対して同じである。

これにより、ベルヌーイ過程は独立で確率分布が恒常的なベルヌーイ試行の連続となります。各試行は、成功（1）または失敗（0）を示し、この過程の成功回数を表すために用いられます。また、試行の独立性は過去の結果が未来の結果に対して影響を与えないという特性、すなわちメモリレス性を含みます。たとえば、任意の時点から行われる試行は過去の試行とは独立して実施されることになります。これをフレッシュスタート属性とも言います。

確率変数の特性

ベルヌーイ過程における確率変数は、次の特徴を持っています。

• - 最初のn回の試行における成功の回数は二項分布に従います。
• - r回の成功を得るために必要な試行回数は負の二項分布で表されます。
• - 1回の成功を得るために必要な試行回数は幾何分布に従い、これは負の二項分布の特別な場合です。

また、有限のベルヌーイ試行の結果から、その過程が公平かどうかを検証する問題は「コインの公平性問題」と呼ばれています。

形式的定義

ベルヌーイ過程は確率空間での形式的な定義によって説明されます。確率空間 \( (\Omega, P_r) \) において、集合 \( \{0, 1\} \) に関する確率変数 \( X \) が含まれます。全ての \( \omega ∈ \Omega \) に対して、確率 \( p \) で \( X_i(\omega) = 1 \) が成り立ち、確率 \( 1-p \) で \( X_i(\omega) = 0 \) となります。

ベルヌーイ列

ベルヌーイ過程において、各確率空間に対して対応する整数の列が生成されます。これをベルヌーイ列と呼びます。例えば、コイントスの結果を表すベルヌーイ過程は、トスの結果を整数の列として表現します。ほとんどのベルヌーイ列はエルゴード列として知られます。

ベルヌーイマップ

ベルヌーイ過程の試行は0または1のいずれかの値を取ります。試行の列を2進数として解釈することも可能です。確率 \( p \) が1/2の場合、全ての2進数列は均等な確率で生成され、ベルヌーイ過程の完全加法族は単位区間における一様測度に相当します。この場合、実数は単位区間上に一様に分布しています。

シフト作用素 \( T \) は確率変数を次の確率変数に変換し、ベルヌーイマップを介して記述されます。ここで、\( z \in [0, 1] \) は測定列を表し、床関数 \( \lfloor z \rfloor \) はzを超えない最大の整数を示します。ベルヌーイマップは、決定論的なカオスのモデルとして知られており、その固有値は1/2の倍数であり、固有関数はベルヌーイ多項式です。

ベルヌーイ系

ベルヌーイ過程が拡張されて3つ以上の値を取る場合、これをベルヌーイ系と呼ぶことがあります。

これらの特性は、確率論の基本的な概念を理解するための礎となります。

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