ベーテ・ヴァイツゼッカーの公式

ベーテ・ヴァイツゼッカーの公式

ベーテ・ヴァイツゼッカーの公式（Bethe-Weizsäcker-Formel）は、核物理学における核の結合エネルギーを取り扱う半経験的な公式です。この公式は1935年にカール・フリードリヒ・フォン・ヴァイツゼッカーが初めて提案し、翌年ハンス・ベーテによって改良され、広く普及しました。

公式の概要

この公式は、原子核の中性子の数（N）と陽子の数（Z）を用いて、その結合エネルギー（EB）を以下のように5つの異なる項で表現します。

EBは、体積項（EV）、表面項（EO）、クーロン項（EC）、対称性項（ES）、ペアリング項（EP）の合計として示されます。特に、核子数（A）が約30以下のケースでは、公式は実際の結合エネルギーの傾向を適切に再現します。原子核が大きくなるにつれて、公式の精度は高くなり、誤差は1%未満に収束します。

結合エネルギーの計算

総結合エネルギーEBは、次の式で計算されます:

$$EB = EV - EO - EC - ES \\ ± EP$$

この式では、それぞれの項がどのように結合エネルギーに寄与するかを示しています。特定の原子核に対するEBの関数としての項は、以下の通りです。

$$EB = a_V imes A - a_O imes A^{2/3} - a_C imes Z imes (Z - 1) imes A^{-1/3} - a_S imes \frac{(N - Z)^2}{4A} + \{ + a_P imes A^{-1/2} \, \text{(gg)} \; 0 \, \text{(ug,gu)} \; - a_P imes A^{-1/2} \, \text{(uu)} \}$$

この式を用いて、原子核の質量（m）は次のように計算されます:

$$m = N m_n + Z m_p - \frac{EB}{c^2}$$

ここで、$m_n$と$m_p$はそれぞれ中性子と陽子の質量、$c$は光速です。この式から、EB/c²は質量欠損と称されます。これにより、ベーテ・ヴァイツゼッカーの公式は質量公式とも呼ばれます。

5つの項の詳細

1. 体積項（EV）

液滴モデルを基にした体積項は、原子核の体積は質量数Aに比例すると考えます。この項は強い核力に起因し、近接する核子の間に強い引力作用が働くため、核子の全数量に比例します。

2. 表面項（EO）

表面項は、原子核の表面に位置する核子が内部の核子に比べて少ない隣接核子としか結合しないため、相対的に弱い結合エネルギーには負の寄与を持ちます。これは表面積に関連しており、体積により$A^{2/3}$に比例します。

3. クーロン項（EC）

クーロン項は、同じく正に帯電した陽子同士の斥力による不安定化要因です。このエネルギーは、陽子の数Zに対して$Z(Z-1)$に比例し、より大きな核での結合エネルギーを減少させます。

4. 対称性項（ES）

この項は量子力学的性質に由来し、中性子数と陽子数のバランスを示します。NとZの差が大きいほど結合エネルギーが減少し、原子核は不安定化します。

5. ペアリング項（EP）

ペアリング項は、核子数が偶数のときに原子核がより安定になる現象を説明します。陽子数と中性子数がどちらも偶数である場合、最も強く結合し、不安定な奇数では逆に結合が弱くなります。

終わりに

ベーテ・ヴァイツゼッカーの公式は、実験的データに基づいて数多くの核に適用され、その結果、様々な物理的現象の理解を深めています。この公式は核物理学の基盤を成す重要な工具であり、今なおさまざまな研究で活用され続けています。

もう一度検索