ボラティリティ

ボラティリティについて

ボラティリティ（英: volatility）は、金融商品の価格がどれだけ変動するかの指標を指します。特に、金融工学における幾何ブラウン運動モデルをもとにして、リスクを定量化するために広く用いられています。このモデルにおいて、金融商品の価格を表す変数を $S_t$ とし、ボラティリティはシグマ（$σ$）として表現されます。具体的には、株価の変動を時間の経過に対して数学的に表現すると次のようになります。

$$ dS_{t} = ar{μ}S_{t}dt + σS_{t}dB_{t} $$

ここで、$μ$ は平均リターンを示し、$dB_{t}$ はブラウン運動を表しています。ボラティリティは、リスクとも言われ、広義には金融資産の価格変動の度合いを示す重要なパラメータです。ただし、一般的に株価のボラティリティは、実データに基づく経験則から、0.15から0.60の範囲に収束することが知られています。

ヒストリカル・ボラティリティとインプライド・ボラティリティ

ボラティリティには大きく分けて「ヒストリカル・ボラティリティ」と「インプライド・ボラティリティ」の2種類があります。

ヒストリカル・ボラティリティ

ヒストリカル・ボラティリティは、過去の株価データに基づいて計算されるボラティリティのことです。具体的には、過去n日間の株価データから価格の対数差分の標準偏差を求める手法が一般的です。この方法により、$σ$ の推定値が得られ、これをヒストリカル・ボラティリティと呼びます。

例えば、株価のデータを次のように設定した場合、

$$ S_i $$

を第$i$日の終値とし、ヒストリカル・ボラティリティを計算することで、投資意思決定に役立てることができます。

インプライド・ボラティリティ

一方、インプライド・ボラティリティは、現実のオプション市場でのオプション価格から逆算されるボラティリティです。ブラック-ショールズモデルを用いて、満期Tと権利行使価格Kに基づきヨーロピアン・コールオプションの価格を求めることができます。

$$ C(K, T) $$

ここで、$σ$をヒストリカル・ボラティリティで置き換えると、計算された価格は市場価格と一致しないことが多く、実際には時価から得られるオプション価格に基づいて$σ$を求めるのがインプライド・ボラティリティの方法です。このボラティリティは、権利行使価格や満期日に応じて異なるため、2次元のグラフにプロットすることがよく行われます。

ボラティリティ・スマイルとボラティリティ期間構造

ボラティリティのデータを使って、様々なグラフを作成することが可能です。$K$を固定して$T$に対するインプライド・ボラティリティを描いたものが「ボラティリティ・スマイル」であり、$T$を固定して$K$に対するボラティリティを描くと「ボラティリティ期間構造」と呼ばれます。これらのグラフは、オプション市場のさまざまなトレンドや市場心理を分析するために利用されます。

参考文献

• - John Hull, "Options, Futures, and Other Derivatives", Prentice Hall

このように、ボラティリティは金融市場における重要な指標であり、投資家がリスクを管理し、資産運用を行う上で欠かすことのできない要素です。

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